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Trigonometrie 1

  1. Landesbildungsserver BW - Einführung
  2. Visualisierung von Sin, Cos, Tan in Geogebra
  3. Visualisierung interaktiv
    1. Merksatz für sin/cos von 0/30/45/60/90

Trigonometrie 2

  1. Trigonometrische Funktionen als Potenzreihen
  2. Geogebra - Approximation trig. Funktionen durch Polynome (interaktiv)

Aufgaben Trigonometrie

  1. Mit anderen Themenbereichen der Mathematik

Geometrie

Satze des Pythagoras

  1. Geometrische Veranschaulichung


Potenzen

  1. Potenzen mit neg. Exponenten umformen
  2. Potenzwerte berechnen
  3. Termwerte berechnen (0,9 * 10^8)
  4. Potenzen zusammenfassen


<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Kehrwert – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,)+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"0f5e8c36-a60d-4870-ac80-6cedf3de63e6","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Kehrwert","wgTitle":"Kehrwert","wgCurRevisionId":245058555,"wgRevisionId":245058555,"wgArticleId":15271,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[ "Division (Mathematik)"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Kehrwert","wgRelevantArticleId":15271,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":245058555,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":8000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false, "wgWikibaseItemId":"Q216906","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage": "ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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<a id="top"></a>

Kehrwert

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

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Der Kehrwert (auch der reziproke Wert oder das Reziproke) einer von <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> verschiedenen <a href="/wiki/Zahl" title="Zahl">Zahl</a> <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> ist in der <a href="/wiki/Arithmetik" title="Arithmetik">Arithmetik</a> diejenige Zahl, die mit <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> <a href="/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation">multipliziert</a> die Zahl <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> ergibt; er wird als <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3da30de216ba1a9649809913816f8b640eb26f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.776ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}"> oder <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf91609f1a0b7847e108023b015cb6b0d567821" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.662ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{-1}}"> notiert.

Eigenschaften

[<a href="/w/index.php?title=Kehrwert&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kehrwert&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Eigenschaften">Quelltext bearbeiten</a>]

Kernaussagen

[<a href="/w/index.php?title=Kehrwert&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Kernaussagen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kehrwert&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kernaussagen">Quelltext bearbeiten</a>]

<figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Hyperbola_one_over_x.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Hyperbola_one_over_x.svg/220px-Hyperbola_one_over_x.svg.png" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Hyperbola_one_over_x.svg/330px-Hyperbola_one_over_x.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Hyperbola_one_over_x.svg/440px-Hyperbola_one_over_x.svg.png 2x" data-file-width="1600" data-file-height="1200" /></a><figcaption>Der Graph der Kehrwertfunktion ist eine <a href="/wiki/Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel</a>.</figcaption></figure>

Je näher eine Zahl bei <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> liegt, desto weiter ist ihr Kehrwert von <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> entfernt. Die Zahl <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> selbst hat keinen Kehrwert und ist auch kein Kehrwert. Die durch <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295255af2ebd89bd25ea6119f95ade0f789036a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.546ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)={\tfrac {1}{x}}}"> beschriebene Kehrwertfunktion (siehe Abbildung) hat dort eine <a href="/wiki/Polstelle" title="Polstelle">Polstelle</a>. Der Kehrwert einer positiven Zahl ist positiv, der Kehrwert einer negativen Zahl ist negativ. Dies findet seinen geometrischen Ausdruck darin, dass der Graph in zwei <a href="/wiki/Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbeläste</a> zerfällt, die im ersten bzw. dritten Quadranten liegen. Die Kehrwertfunktion ist eine <a href="/wiki/Involution_(Mathematik)" title="Involution (Mathematik)">Involution</a>, d. h., der Kehrwert des Kehrwerts von <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> ist wieder <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.977ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x.}"> Ist eine Größe <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> <a href="/wiki/Umgekehrt_proportional" class="mw-redirect" title="Umgekehrt proportional">umgekehrt proportional</a> zu einer Größe <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.977ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,}"> dann ist sie proportional zum Kehrwert von <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.977ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x.}">

Den Kehrbruch eines <a href="/wiki/Bruchrechnung#Gemeine_Brüche" title="Bruchrechnung">Bruches</a>, also den Kehrwert eines <a href="/wiki/Quotient" title="Quotient">Quotienten</a> <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e9c32a14514b5b975a4666af015884bc93b0b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.706ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}"> mit <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491acb120732257985e2f7ab789fef7cdf54f767" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.169ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a,b\neq 0,}"> erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht:

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952a852fd53dd6a4539101d38db0e7d9d37d65f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:7.706ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}}">

Daraus folgt die Rechenregel für das <a href="/wiki/Division_(Mathematik)" title="Division (Mathematik)">Dividieren</a> durch einen Bruch: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Siehe auch <a href="/wiki/Bruchrechnung" title="Bruchrechnung">Bruchrechnung</a>.

Den Kehrwert <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee46f3d1f145f31319826905e4ce0750792d55b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.822ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}"> einer <a href="/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahl</a> <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> nennt man einen <a href="/wiki/Stammbruch" title="Stammbruch">Stammbruch</a>.

Auch zu jeder von <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> verschiedenen <a href="/wiki/Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahl</a> <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7f54052b27c21d6073ea59a31e499ea689970f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.901ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }"> mit reellen Zahlen <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}"> gibt es einen Kehrwert <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5770006851ba8ff951117476454da2731cd73c25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.305ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{z}}.}"> Mit dem <a href="/wiki/Betragsfunktion#Komplexe_Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">Absolutbetrag</a> <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe94d0c3b0c3704e8771d0932fff6f983ef0082b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.98ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}"> von <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"> und der zu <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"> <a href="/wiki/Komplexe_Konjugation" title="Komplexe Konjugation">konjugiert komplexen</a> Zahl <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa7245b2db6d644ce58741004233134df972e3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.021ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {z}}=a-b\mathrm {i} }"> gilt:

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e571b122897385c9f968daede3034bfb41ed961" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:58.97ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{a+b\mathrm {i} }}={\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {a-b\mathrm {i} }{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\mathrm {i} }">

Summe aus Zahl und Kehrwert

[<a href="/w/index.php?title=Kehrwert&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Summe aus Zahl und Kehrwert" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kehrwert&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Summe aus Zahl und Kehrwert">Quelltext bearbeiten</a>]

Die Summe aus einer positiven <a href="/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahl</a> und ihrem Kehrwert beträgt mindestens <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2b3373a07e65d3312989163b5ebd400af86480" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.809ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2.}"><a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a>

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5291484292966bff26e63e310e5a3fc6ba56f702" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.597ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x+{\frac {1}{x}}\geq 2}">

Beweisvariante 1 (Figur 1):

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e07f845b4566d52630549d8b419941e8393ab70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.137ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\geq 4\cdot x\cdot {\frac {1}{x}}\Leftrightarrow x+{\frac {1}{x}}\geq 2}">

Beweisvariante 2 (Figur 2):

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b44aa71298390050daad2f39336a3e0514905e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.808ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{x}}\geq 2-x\Leftrightarrow x+{\frac {1}{x}}\geq 2}">

Beweisvariante 3 (Figur 3):

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc7d3b39e90e80a51ba4b124ae9ef6e1336b98e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.778ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}=2^{2}+\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}}"> (nach dem <a href="/wiki/Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</a>)
<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd31e4054fb61f750fabfe34d37f445ce23cad37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.306ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\geq 2^{2}\Leftrightarrow x+{\frac {1}{x}}\geq 2}">

Beweisvariante 4 (Figur 4):

Nach dem <a href="/wiki/Strahlensatz" title="Strahlensatz">Strahlensatz</a> sind die <a href="/wiki/Dreieck" title="Dreieck">Dreiecke</a> <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e73d6f110c9dc2ee6ec8677a8e44f7e14ee3e37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.441ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle DEF}"> und <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51aaac538474e68bf4652df3b42d258c164366e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle DBC}"> <a href="/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">ähnlich</a>. Es gilt <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182401d6027f4887112049d46472d2b5954a331c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:7.877ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x}{1}}={\frac {1}{\frac {1}{x}}}}">. <a href="/wiki/Ohne_Beschr%C3%A4nkung_der_Allgemeinheit" title="Ohne Beschränkung der Allgemeinheit">Ohne Beschränkung der Allgemeinheit</a> wird hier <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca3ced43f1713577888a8a7ade2d0aaf8354a4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.591ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\geq 1}"> vorausgesetzt.
<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fabbfc730293a6e715f07f44a4ff52061cef82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:72.489ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot x+{\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot {\frac {1}{x}}\geq 1\cdot 1\Leftrightarrow {\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2x}}\geq 1\Leftrightarrow x^{2}+1\geq 2x\Leftrightarrow x+{\frac {1}{x}}\geq 2}">
Grafische Veranschaulichung der Beweisvarianten
<a href="/wiki/Datei:Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_1.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_1.svg/200px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_1.svg.png" decoding="async" width="200" height="189" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_1.svg/300px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_1.svg/400px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_1.svg.png 2x" data-file-width="308" data-file-height="291" /></a>
<a href="/wiki/Datei:Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_2.svg/200px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_2.svg.png" decoding="async" width="200" height="206" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_2.svg/300px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_2.svg/400px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_2.svg.png 2x" data-file-width="686" data-file-height="708" /></a>
<a href="/wiki/Datei:Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_3.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_3.svg/200px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_3.svg.png" decoding="async" width="200" height="86" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_3.svg/300px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_3.svg/400px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_3.svg.png 2x" data-file-width="636" data-file-height="272" /></a>
<a href="/wiki/Datei:Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_4.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_4.svg/200px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_4.svg.png" decoding="async" width="200" height="166" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_4.svg/300px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_4.svg/400px-Kehrwert_Summenungleichung_Beweis_4.svg.png 2x" data-file-width="427" data-file-height="354" /></a>
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4

Summe zweier Kehrwerte

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<figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Kehrwertsumme_Planfigur.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Kehrwertsumme_Planfigur.svg/220px-Kehrwertsumme_Planfigur.svg.png" decoding="async" width="220" height="219" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Kehrwertsumme_Planfigur.svg/330px-Kehrwertsumme_Planfigur.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Kehrwertsumme_Planfigur.svg/440px-Kehrwertsumme_Planfigur.svg.png 2x" data-file-width="297" data-file-height="295" /></a><figcaption>Figur 5</figcaption></figure>

Die Summe der Kehrwerte zweier positiver reeller Zahlen <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> und <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> mit der Summe <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> beträgt mindestens <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4}">:

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3248531e2a57ff3479d1eac67299a17b088b686c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.166ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\geq 4}"> für <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a8061cad08a2f1206af42fb3e0389fcf4353e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.329ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b=1}">.

Beweis:

Gemäß Figur 5 gilt:

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149079010eed654fc2f606f1a0f92ec6c346de20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.589ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle 4ab\leq 1\Leftrightarrow {\frac {1}{ab}}\geq 4}">
<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c515c6b999f47ecbe6b512157fb97c0b4a4291b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:26.33ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {a+b}{ab}}={\frac {1}{ab}}\geq 4}">,

<a href="/wiki/Quod_erat_demonstrandum" title="Quod erat demonstrandum">was zu beweisen war</a>.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Summe aufeinanderfolgender Kehrwerte

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Für jede <a href="/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahl</a> <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>1}"> gilt

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da40156d1060ae455bc5c45838b258cad7ea1a98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:34.643ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+...+{\frac {1}{n^{2}}}>1}">.

Den Beweis liefert die Abschätzung

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38db5e46fb393fb9cc42f28547ec6f7e91241a7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:100.707ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+...+{\frac {1}{n^{2}}}>{\frac {1}{n}}+\left({\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{2}}}+...+{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}\left(n^{2}-n\right)={\frac {1}{n}}+1-{\frac {1}{n}}=1}">.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Beispiele

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  • Der Kehrwert von <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> ist wiederum <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}">.
  • Der Kehrwert von <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b02aa6542167e2202fec98516bf3237cd35b86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.297ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0{,}001}"> ist <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9060e16491f890b9fbcce0194c8d454cbee309ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.65ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1000}">.
  • Der Kehrwert von <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}"> ist <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e7fd12728cb5e48baf2932b97faf654f0afa42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.728ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}=0{,}5}">.
  • Der Kehrwert des Bruches <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb22be2c480d6bb96c97cc2b6a1a796f8396489" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.658ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}"> ist <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6377800ff02edf1c0cf48ab2e6fb5568f2b6b640" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.647ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}=2{\tfrac {1}{2}}=2{,}5}">.
  • Der Kehrwert der komplexen Zahl <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ab335ff1f5595bf3cf91ef4241f78a48593ce2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.812ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 3+4\mathrm {i} }"> ist <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abfc5e0e00b1a2871bd13d96da7cf097730a53b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.762ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{3+4\mathrm {i} }}={\tfrac {3}{25}}-{\tfrac {4}{25}}\mathrm {i} }">.

Verallgemeinerung

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Eine Verallgemeinerung des Kehrwerts ist das <a href="/wiki/Inverses_Element" title="Inverses Element">multiplikativ Inverse</a> <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf91609f1a0b7847e108023b015cb6b0d567821" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.662ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{-1}}"> zu einer <a href="/wiki/Einheit_(Mathematik)" title="Einheit (Mathematik)">Einheit</a> <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> eines <a href="/wiki/Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra)">unitären Ringes</a>. Es ist ebenfalls durch die Eigenschaft <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9f878a343f6121e1c85011d9146ce0a29921b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:21.863ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{-1}\cdot \ x=x\cdot \ x^{-1}=1}"> definiert, wobei <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> das Einselement des Ringes bezeichnet.

Wenn es sich z. B. um einen Ring von Matrizen handelt, so ist das Einselement nicht die Zahl <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,}"> sondern die <a href="/wiki/Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a>. Matrizen, zu denen keine <a href="/wiki/Inverse_Matrix" title="Inverse Matrix">inverse Matrix</a> existiert, heißen <a href="/wiki/Singul%C3%A4re_Matrix" class="mw-redirect" title="Singuläre Matrix">singulär</a>.

Verwandte Themen

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  • Ist eine Größe <a href="/wiki/Proportionalit%C3%A4t" title="Proportionalität">proportional</a> zum Kehrwert einer anderen, liegt <a href="/wiki/Reziproke_Proportionalit%C3%A4t" title="Reziproke Proportionalität">reziproke Proportionalität</a> vor.

Literatur

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Hintergrundwissen für Lehramtsstudenten zur Arithmetik:

  • Friedhelm Padberg: Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 3. erweiterte völlig überarbeitete Auflage, Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München 2009, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783827409935" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-8274-0993-5</a>.
[<a href="/w/index.php?title=Kehrwert&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kehrwert&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks">Quelltext bearbeiten</a>]
<a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Kehrwert" class="extiw" title="wikt:Kehrwert">Wiktionary: Kehrwert</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. <a href="#cite_ref-1">↑</a> Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, <a href="/wiki/Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag <a href="/wiki/Berlin" title="Berlin">Berlin</a> <a href="/wiki/Heidelberg" title="Heidelberg">Heidelberg</a> 2016, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662503300" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-50330-0</a>, Seite 145
  2. <a href="#cite_ref-2">↑</a> Roger B. Nelsen: Proof without Words: The Sum of a Positive Number and Its Reciprocal Is at Least Two (four proofs) Mathematics Magazine, vol. 67, no. 5 (Dec. 1994), S. 374
  3. <a href="#cite_ref-3">↑</a> Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, <a href="/wiki/Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag GmbH <a href="/wiki/Berlin" title="Berlin">Berlin</a> 2015, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662454602" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-45460-2</a>, Seiten 237 und 301
  4. <a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="/wiki/Ross_Honsberger" title="Ross Honsberger">Ross Honsberger</a>: Gitter - Reste - Würfel <a href="/wiki/Vieweg_Verlag" title="Vieweg Verlag">Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH</a>, <a href="/wiki/Braunschweig" title="Braunschweig">Braunschweig</a> 1984, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783528084769" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-528-08476-9</a>, S. 155
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  1. Potenzgesetze
  2. Potenzgesetze in einfacher Darstellung - automatischer Download
  3. Speziell zur Umwandlung von Logarithmen und log10
  4. Logarithmengesetze mit Beispielen und anklickbaren Lösungen

https://drive.google.com/drive/folders/1wNKPr9Cww3qrHnykiepCS6gl5CkquYkM

Aufgaben zu Potenzgesetzen

  1. Übungsblatt 1
  2. Übungsblatt 2 - wieder einfache Übungen
  3. Leichte Übungen - 9. Klasse Gym
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