Aufgaben am 29.11.2023

Quadratische Gleichungen lösen

https://www.hhs.karlsruhe.de/wp-content/uploads/2015/11/quadratische_gln_ag_01.pdf

Strahlensätze wiederholen und ableiten

https://didaktik.mathematik.hu-berlin.de/user/warmuth/Geometrie/2018_Vorlesung_7_Geometrie.pdf

Was ist das für eine Funktion: y=(x-50)^(-2) und warum taucht eine Diracspitze bei x=50 auf?

Die nächste Funktion y=1000 (x-510^15)^-210^x kann als Annäherung für eine Sprungtemperatur verwendet werden, aber auch die obige Diracsche Funktion

- Wikipediaartikel über Sprungtemperatur Dagegen in Heywang/Treiber, Aufgabensammlung Physik, Seite 97, lineare Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes

Zahlen und Reihen

Dezimalsystem und Hexagesimalsystem

Einführung ins Hexagesimalsystem

Allgemeine Erläuterung zu Zahlensystemen und den Umrechnungen zum Dezimalsystem

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Die Binomialverteilung

Aufgaben am 24.05.2023

Wahrscheinlichkeitsrechnung, mehrstufige Zufallsexperimente
1. Aufgaben unten
2. Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben als PDF
3. Binomialverteilung, 2017-2, Teilaufgabe d)
  1. 3.1) Fläche unter Kurve, 2017-1, Teilaufgabe a)
  2. Liegen zwei Vektoren auf einer Geraden?, Teilaufgabe c)

1. Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 8 Kugeln: 
6 weiße und 2 schwarze. 
Es wird nacheinander je eine Kugel gezogen. 
Unterscheide: 
a) mit Zurücklegen der gezogenen Kugel 
b) ohne Zurücklegen der gezogenen Kugel 
1. Zeichne den Ereignisbaum für die zwei Fälle. 
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird zweimal eine schwarze Kugel gezogen? 
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird keine schwarze Kugel gezogen? 
4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mindestens einmal eine schwarze Kugel gezogen? 
5. Für welchen Fall ist die Wahrscheinlichkeit größer, zweimal eine schwarze Kugel zu ziehen: mit 
Zurücklegen oder ohne Zurücklegen?

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2. Aufgabe

Du würfelst mit einem Würfel zweimal hintereinander. 
1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, jedes Mal die 
gleiche Zahl zu würfeln? 
2. Wie viele Äste gibt es in dem Ereignisbaum? 
3. Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, als Augensumme 
mindestens 10 zu würfeln? 
4. Du möchtest für ein Gewinnspiel eine Gewinn-Wahrscheinlichkeit von maximal 20%. Wir 
würfeln 2x auf maximale Augensumme. Bei welcher Augensumme werden die 20% 
Gewinnwahrscheinlichkeit nicht überschritten?

Baumdiagramme zeichnen und als SVG-Graphik speichern

Online-Werkzeug

Aufgaben am 14.06.2023

Ähnlichkeitsbetrachtungen an Dreiecken
1. Aufgaben 4, Maßstab bei Abbildungen, gute Übungen dazu

Cornelsen:

- Zugangslink Zahlen und Größen 9 - Herausgegeben von Udo Wennekers

- Oder über Cornelsen und dann mit Zugangsdaten: Benutzername: EBochenek - Passwort: 12Paselaken1951

Aufgaben 05.07.2023

Differentialgleichungssysteme lösen:

Grundsätzliches zur Addition und Multiplikation

Unterschied zwischen Addition und Multiplikation

Verdeutlichung des Unterschieds zwischen Addition und Multiplikation

Allgemeine Beziehungen zwischen Addition und Multiplikation

Erklärungsmodelle zur Multiplikation und!!!! Division

Erklärungsmodelle zur Multiplikation und!!! Division

Addition und Multiplikation von Brüchen

 - Geogebra - geometrische Erklärung der Addition von Brüchen
 - Geogebra - geometrische Erklärung der Multiplikation von Brüchen

Schriftliche Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

 - Mathe-Lernen.net

Gleichungen umstellen

Regeln / Hinweise zum Umstellen von Gleichungen

Beim Umstellen von Gleichungen muss auf beiden Seiten der gleiche Rechenschritt durchgeführt werden (zum Beispiel beide Seiten durch 3 teilen).

1) Durch die Zahl 0 (Null) darf nicht geteilt werden.

2) Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion.

3) Die Umkehrung der Subtraktion ist die Addition.

4) Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division.

5) Die Umkehrung der Division ist die Multiplikation.

6) Die Regel Punkt vor Strich muss beachtet werden.

Starke und schwache Verknüpfungen

In der Gleichung 2*x +5 = 11 sind:

2*x als Multiplikation eine starke,

+ 5 als Addition eine schwache Verknüpfung.

 Regel zur Reihenfolge von Verknüpfungen: Schwache werden in der Regel vor starken Verknüpfungen umgestellt.

Geogebra - Hilfsmittel zum Umstellen von Gleichungen

- Gleichsetzungsverfahren

Geogebra - Aufgaben zum Umstellen von Gleichungen

- Seitenlängen bei Flächen usw. berechnen

Geogebra - Aufgabe: Geraden nach Geradengleichungen zeichnen!! - Schwierig wegen Faktoren vor x

- Eine Gerade
- Zwei Geraden

Quadratische Gleichungen

- Python Interpreter Online

Source code, der zeigt, dass eine quadratische Gleichung der Form y = a*x^2 + b*x + c bezüglich symmetrischer 
Grenzen von x in y unsymmetrisch ist.
Dieser Online-Compiler ist für Matplotlib zu verwenden!

- Für den folgenden Quellcode
#Three lines to make our compiler able to draw:

import sys

import matplotlib

#matplotlib.use('Agg')

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

a=2

b=3

c=4

x = np.array([-10, 10])

x = np.linspace(-10,10,100)

ypoints = a*x**2 + b * x +c

plt.plot(x, ypoints)

plt.show()

#Two  lines to make our compiler able to draw:

plt.savefig(sys.stdout.buffer)

sys.stdout.flush()

- Tutorium Python
- Leitfaden des Unterrichts zu quadratischen Gleichungen

Eigenschaften von charakteristischen quadratischen Gleichungen

 - Normalparabel, Normal- und Scheitelform quadr. Gleichungen 
   Seite 190 von Mathematik 5. bis 10. Klasse
   ISBN: 978-3-411-71505-3

  Zum Vergrößern auf das Bild klicken

Binomische Formeln und ihr Einsatz bei quadratischen Gleichungen

 - Wikipediaeintrag

Übungen zu Binomischen Formeln, Gesamtschule, 8. Klasse

 - Binomische Formel finden, Ausdrücke vereinfachen
 - Übungen zu binomischen Formeln - Aufgabenfuchs
 - Arndt Brunner, Aufgaben zur quadr. Ergänzung mit Lösungen

Die binomischen Formeln sind:

1) Erste binomische Formel - Plus-Formel

 ‎ $(a+b)^{2}\ =(a+b)*\ (a+b)=a^{2}\ +2*a*b+b^{2}\,\!$

2) Zweite binomische Formel - Minus-Formel

 ‎ $(a-b)^{2}\ =(a-b)*\ (a-b)=a^{2}\ -2*a*b+b^{2}\,\!$

3) Dritte binomische Formel - Plus-Minus-Formel

 ‎ $(a+b)^{2}\ =(a+b)*\ (a-b)=a^{2}\ -b^{2}\,\!$

Überführung der Normalform $y=x^{2}\ +p*x+q\!$ in die Scheitelform $y=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\ +q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\,\!$

 Man kann von der 1. Binomischen Formel ausgehen:

  $\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\ =x^{2}\ +p*x+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\,\!$   Wahl von p/2, weil dann auf der rechten Seite x^2 + p*x auftaucht

 Vertauschen der beiden Seiten:

  $x^{2}\ +p*x+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ =\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\,\!$ 

 Wenn man also eine Gleichung mit

  $x^{2}\ +p*x+q=y$ 

 hat, dann kann auf der linken Seite

  $\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\,\!$ 

 addiert werden, um die binomische Vereinfachung zu bekommen:

  $x^{2}\ +p*x+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ +q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ =y\,\!$ 

 Das ist dann:

  $\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\ +q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ =y\!$  - Zu dieser Gleichung kann man gleich kommen

 q - (p/2)^2 ist eine Konstante, kann also als d geschrieben werden:

  $\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\ +d=y\!$  - Das ist die Scheitelform einer quadratischen Gleichung

 Der Scheitel S ist sofort abzulesen als: S=(-p/2|d)


 Ausgeschriebene Formel:


  $s=\left(\color {Darkgreen}-{\frac {p}{2}},\quad q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ \color {Black}\right)\!$

Überführung der allgemeinen Form $y=ax^{2}\ +px+q\!$ in die Scheitelform $y=\left({\sqrt {a}}x+{\frac {p}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\ +q-{\frac {p^{2}\ }{4*a}}\!$

 Man hat die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung mit Faktor a vor dem x^2 zu nehmen:


  $y=a*x^{2}\ +px+q\!$ 


 Man vergleicht sie mit der Zielgleichung, in der andere Koeffizienten auftreten.

 Es wird also ein Koeffizientenvergleich vorgenommen:


  $y=(m*x+n)^{2}\ +z\!$ 


 Wenn diese Gleichung durch Auflösen:


  $y=(m*x+n)^{2}\ +z\quad =\quad (m*x+n)*(m*x+n)+z\quad =\quad m^{2}\ *x^{2}\ +2*m*n*x+n^{2}\ +z\!$ 


 vereinfacht wird, dann kann man leicht die Zugehörigkeit der Koeffizienten sehen.


  $m^{2}\ =a;\quad 2*m*n=p;\quad n^{2}\ +z=q\!$ 


 Nach den gesuchten Koeffizienten m,n und z umstellen:


  $m={\sqrt {a}};\quad n={\frac {p}{(2*m)}};\quad z=q-n^{2}\,\!$ 


 Von links nachts rechts wird jetzt die jeweils vorhergehende Relation eingesetzt:


  $m={\sqrt {a}};\quad n={\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}};\quad z=q-{\frac {p^{2}\ }{(4*a)}}\!$ 


 Die gesuchte Scheitelform ist dann:


  $y=\left({\sqrt {a}}*x+{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}\right)^{2}\ +q-{\frac {p^{2}\ }{(4*a)}}\!$   Gleichung 1)


 Zu den Scheitelkoordinaten kommt man:


  $s_{x}\,\!$  , der x-Wert des Scheitels, liegt innerhalb der ()^2-Form:


  ${\sqrt {a}}*s_{x}\ +{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}=0\!$ 


 Umstellen nach  $s_{x}\ \!$   ergibt:

 
  ${\sqrt {a}}*s_{x}\ +{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}=0{\text{     }}\quad \quad |-{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}\!$ 


  ${\sqrt {a}}*s_{x}\ =-{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}{\text{     }}\quad \quad \quad |:{\sqrt {a}}\!$ 


  $s_{x}\ =-{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}}*{\sqrt {a}})}}\!$ 


  $s_{x}\ =-{\frac {p}{(2*a)}}\!$ 


 Der y-Wert des Scheitels kann direkt an Gleichung 1) abgelesen werden:


  $s_{y}\ =q-{\frac {p^{2}\ }{(4*a)}}\!$ 


 Der Scheitel hat also die Koordinaten:


  $s=\left(\color {Darkgreen}{\frac {-p}{(2*a)}},\quad \color {Darkgreen}q-{\frac {p^{2}}{(4*a)}}\right)\!$

Überführung der allgemeinen Form, gute und einfache Erklärung

 - Sehr gute schematische Erklärung
 - PDF zur quadr. Ergänzung
 - Übung mit GeoGebra - Faktor vor x^2 ungleich 1
 - Übung mit GeoGebra - Faktor vor x^2 gleich 1
 - Übungen zu Scheitelpunkts- und Normalform

---

 - Arndt Brunner, Übungen zur quadr. Ergänzung mit Lösungen
 - Übungen mit Lösungen
 - Normalen- und Scheitelpunktsform miteinander vergleichen
 - Wie eben, nur etwas schlechter

 - Übungen zu quadratischen Gleichungen - Aufgabenfuchs

Python-Code für die allgemeine quadratische Gleichung

Dieser Online-Compiler ist für Matplotlib zu verwenden!

- Für den folgenden Quellcode
- Hauptseite Python von W3Schools
- Erweiterter Code mit Unterteilung in Normparabel, Ursprungsgerade und horizontaler Gerade

import sys
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Ausgangsgleichung: y=a*x^2 + px + q
a = 1
p = 2/2
q = 2
#Zwei Punkte im gleichen Abstand links und rechts vom Scheitel werden ausgerechnet und gezeichnet: Wichtig für die beiden Punkte im Abstand vom Scheitelpunkt
AbstandVomScheitel = 10
#Die Grenzen links und rechts des Graphen:
GrenzeGraph = 100
xpoints = np.linspace(-GrenzeGraph,GrenzeGraph,2*GrenzeGraph)
#{\displaystyle y=({\sqrt {a}}*x+p/(2*{\sqrt {a}}))^{2}\ +q-p^{2}\ /(4*a)\!}
ypoints = (np.sqrt(a) * xpoints + p/(2*np.sqrt(a)))**2 + q - p**2/(4*a)
#x-Wert des Scheitels: {\displaystyle s_{x}\ =-p/(2*a)\!}
xs = -p/(2*a)
print("x-Wert des Scheitels: {}".format(xs))
ys = q - p**2/(4*a)
print("y-Wert des Scheitels: {}".format(ys))
#Einzelne Werte: Hier xpoints = 1
xpointsEins = np.asarray([xs-AbstandVomScheitel,xs,xs+AbstandVomScheitel])
ypointsEins = (np.sqrt(a) * xpointsEins + p/(2*np.sqrt(a)))**2 + q - p**2/(4*a)
print("y-Werte bei xs{} = {}, xs als der Scheitel: {}, xs+{} = {} sind: {}".format(-GrenzeGraph, AbstandVomScheitel, xs, GrenzeGraph, AbstandVomScheitel,ypointsEins))
#plt.plot(xpoints, ypoints)
#plt.show()
#Two lines to make our compiler able to draw:
#plt.savefig(sys.stdout.buffer)
#sys.stdout.flush()
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 10), tight_layout=True)
label1 = 'Scheitelpunkt xs: '+ str(xs) + ' ys: ' + str(ys)
labelXLinks = 'Punkt x: ' + str(xs-AbstandVomScheitel) + ' y: ' + str(ypointsEins[0])
labelXRechts = 'Punkt x: ' + str(xs+AbstandVomScheitel) + ' y: ' + str(ypointsEins[2])
#single point
ax[0].plot(xpoints, ypoints)
ax[0].plot(xs, ys, '-ro', label=label1)
ax[0].plot(xs-AbstandVomScheitel, ypointsEins[0], 'go', label=labelXLinks) # use this to plot a single point
ax[0].plot(xs+AbstandVomScheitel, ypointsEins[2], 'go', label=labelXRechts) # use this to plot a single point
ax[0].set(title='Markers - 1 point')
ax[0].legend()
#plt.show()

#Two lines to make our compiler able to draw:
plt.savefig(sys.stdout.buffer)
sys.stdout.flush()

Geogebra - Aufgabe zum Zeichnen von Graphen der Form y = ax^2 + bx + c

  - Diese Aufgabe übt die quadratische Ergänzung des vorigen Abschnittes

Geometrie

Flächen- und Volumenberechnungen bei Pyramide und Kegel

Aufgabenfuchs

  - Oberflächen und Volumen bei Pyramiden und Kegeln

Aufgaben aus Lambacher Schweizer (6-13)

  - Unterschiedliche Schweirigkeitsgrade

Geometrische Begründung, warum Volumina von schiefen und geraden Pyramiden gleich sind

  - Aufgabe 5

Wurzelberechnungen als Umkehrung des Potenzierens

Python-Code

 - Ohne Math.sqrt()
 - zu besprechen, was ist falsch?

In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten $x$ in der Potenz

a=x^{n}\,

Hierbei ist $n$ eine natürliche Zahl (meist größer als 1) und $a$ ein Element aus einem Körper (häufig eine nichtnegative reelle Zahl). Das Ergebnis des Wurzelziehens bezeichnet man als Wurzel oder Radikal (von lat. radix „Wurzel“). Das Radizieren ist eine Umkehrung des Potenzierens.Die andere Umkehrung ist das Logarithmieren.T. Arens, F. Hettlich et al.: Mathematik. 2008, S. 46–47. Im Fall $n=2$ spricht man von Quadratwurzeln, bei $n=3$ von Kubikwurzeln. Wurzeln werden mit Hilfe des Wurzelzeichens notiert, im Beispiel ist $x={\sqrt[{n}]{a}}$ die Wurzel bzw. das Radikal.

Zum zweiten obigen Verweis - der richtige Code

# input number number = 9.0

# initializing minimum value as 0 minimum = 0.0

# initializing maximum value with input number maximum =number

# repeating the loop 10 times using for loop for i in range(10):

  # getting the middle value
  middle =(minimum+maximum)/2.0
  # getting the square of the middle value
  squareValue=middle**2.0
  # checking whether the square value of the middle value is equal to the number
  if squareValue ==number:
     # break the code if the condition is true
     break
  # checking whether the square value of the middle value is more than the number
  if squareValue > number: 
      # taking max value as the middle value if the condition is true
      maximum=middle
      
  if squareValue < number:
   # else if the square value of the middle value is less than the number
   # taking the min value as a middle
   minimum=middle

# printing the middle value which is the resultant square root print("The resultant square root of", number, "=", middle)

Definition, Sprech- und Schreibweisen

Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl. Ist $a$ eine nichtnegative reelle Zahl, so besitzt die Gleichung

x^{n}=a

genau eine nichtnegative reelle Lösung. Diese wird als $n$ -te Wurzel aus $a$ bezeichnet. Man schreibt dafür:

x={\sqrt[{n\,}]{a}}

Hierbei bezeichnet man

${\sqrt[{n\,}]{a}}$ als Wurzel, Radikal oder Radix,
${\sqrt {\;\;}}$ als Wurzelzeichen,
$n$ als Wurzelexponent,
$a$ als Radikand.<ref>Der Wurzelexponent $n$ beim Radizieren entspricht dem Logarithmus beim Logarithmieren und dem Exponenten beim Potenzieren. Der Radikand $a$ entspricht dem Numerus (Logarithmand) beim Logarithmieren und dem Ergebnis des Potenzierens</ref><ref>Lothar Kusch: Mathematik. Band 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie. W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S. 162 f.</ref>

Im Spezialfall $n=1$ erhält man ${\sqrt[{1\,}]{a}}=a$ .

Rechengesetze für Wurzeln

Die Wurzelgesetze

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus jenen für Potenzen.

Für positive Zahlen $a$ und $b$ und $n,m,k\in \mathbb {N}$ gelten die folgenden Rechengesetze:

Produktregel: ${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}$
Quotientenregel: ${\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}$
„Verschachtelungsregel“ oder Iterationsregel: ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}$
Definition für gebrochenen Exponenten: $a^{\frac {k}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{k}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{k}$
Definition für negativen Exponenten: $a^{-{\frac {k}{n}}}={\frac {1}{a^{\frac {k}{n}}}}$
Bei gleichem Radikand gilt: ${\sqrt[{m}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}=a^{{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}={\sqrt[{mn}]{a^{m+n}}}$

Bei negativen Zahlen $a$ und $b$ dürfen diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn $m$ und $n$ ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden, bzw. gilt die Gleichheit nur bei geeigneter Wahl der Nebenwerte. Anders gesagt: werden in einem Beispiel auf der linken Seite irgendwelche Wurzeln (bspw. nur Hauptwerte) ausgewählt, so gibt es für die rechte Seite geeignete Nebenwerte, die die Gleichheit erfüllen – linke und rechte Seite unterscheiden sich um eine Einheitswurzel.

Übungen zum Wurzelziehen

 -  - Einfache Übungen - Aufgabenfuchs

Johannes