Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Die Binomialverteilung

Aufgaben am 24.05.2023

Wahrscheinlichkeitsrechnung, mehrstufige Zufallsexperimente
1. Aufgaben unten
2. Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben als PDF
3. Binomialverteilung, 2017-2, Teilaufgabe d)
  1. 3.1) Fläche unter Kurve, 2017-1, Teilaufgabe a)
  2. Liegen zwei Vektoren auf einer Geraden?, Teilaufgabe c)

1. Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 8 Kugeln: 
6 weiße und 2 schwarze. 
Es wird nacheinander je eine Kugel gezogen. 
Unterscheide: 
a) mit Zurücklegen der gezogenen Kugel 
b) ohne Zurücklegen der gezogenen Kugel 
1. Zeichne den Ereignisbaum für die zwei Fälle. 
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird zweimal eine schwarze Kugel gezogen? 
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird keine schwarze Kugel gezogen? 
4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mindestens einmal eine schwarze Kugel gezogen? 
5. Für welchen Fall ist die Wahrscheinlichkeit größer, zweimal eine schwarze Kugel zu ziehen: mit 
Zurücklegen oder ohne Zurücklegen?

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2. Aufgabe

Du würfelst mit einem Würfel zweimal hintereinander. 
1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, jedes Mal die 
gleiche Zahl zu würfeln? 
2. Wie viele Äste gibt es in dem Ereignisbaum? 
3. Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, als Augensumme 
mindestens 10 zu würfeln? 
4. Du möchtest für ein Gewinnspiel eine Gewinn-Wahrscheinlichkeit von maximal 20%. Wir 
würfeln 2x auf maximale Augensumme. Bei welcher Augensumme werden die 20% 
Gewinnwahrscheinlichkeit nicht überschritten?

Baumdiagramme zeichnen und als SVG-Graphik speichern

Online-Werkzeug

Aufgaben am 14.06.2023

Ähnlichkeitsbetrachtungen an Dreiecken
1. Aufgaben 4, Maßstab bei Abbildungen, gute Übungen dazu

Cornelsen:

- Zugangslink Zahlen und Größen 9 - Herausgegeben von Udo Wennekers

- Oder über Cornelsen und dann mit Zugangsdaten: Benutzername: EBochenek - Passwort: 12Paselaken1951

Aufgaben 05.07.2023

Differentialgleichungssysteme lösen:

Grundsätzliches zur Addition und Multiplikation

Unterschied zwischen Addition und Multiplikation

Verdeutlichung des Unterschieds zwischen Addition und Multiplikation

Allgemeine Beziehungen zwischen Addition und Multiplikation

Erklärungsmodelle zur Multiplikation und!!!! Division

Erklärungsmodelle zur Multiplikation und!!! Division

Addition und Multiplikation von Brüchen

 - Geogebra - geometrische Erklärung der Addition von Brüchen
 - Geogebra - geometrische Erklärung der Multiplikation von Brüchen

Gleichungen umstellen

Regeln / Hinweise zum Umstellen von Gleichungen

Beim Umstellen von Gleichungen muss auf beiden Seiten der gleiche Rechenschritt durchgeführt werden (zum Beispiel beide Seiten durch 3 teilen).

1) Durch die Zahl 0 (Null) darf nicht geteilt werden.

2) Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion.

3) Die Umkehrung der Subtraktion ist die Addition.

4) Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division.

5) Die Umkehrung der Division ist die Multiplikation.

6) Die Regel Punkt vor Strich muss beachtet werden.

Starke und schwache Verknüpfungen

In der Gleichung 2*x +5 = 11 sind:

2*x als Multiplikation eine starke,

+ 5 als Addition eine schwache Verknüpfung.

 Regel zur Reihenfolge von Verknüpfungen: Schwache werden in der Regel vor starken Verknüpfungen umgestellt.

Geogebra - Hilfsmittel zum Umstellen von Gleichungen

- Gleichsetzungsverfahren

Geogebra - Aufgaben zum Umstellen von Gleichungen

- Seitenlängen bei Flächen usw. berechnen

Geogebra - Aufgabe: Geraden nach Geradengleichungen zeichnen!! - Schwierig wegen Faktoren vor x

- Eine Gerade
- Zwei Geraden

Quadratische Gleichungen

- Python Interpreter Online

Source code, der zeigt, dass eine quadratische Gleichung der Form y = a*x^2 + b*x + c bezüglich symmetrischer 
Grenzen von x in y unsymmetrisch ist.
Dieser Online-Compiler ist für Matplotlib zu verwenden!

- Für den folgenden Quellcode
#Three lines to make our compiler able to draw:

import sys

import matplotlib

#matplotlib.use('Agg')

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

a=2

b=3

c=4

x = np.array([-10, 10])

x = np.linspace(-10,10,100)

ypoints = a*x**2 + b * x +c

plt.plot(x, ypoints)

plt.show()

#Two  lines to make our compiler able to draw:

plt.savefig(sys.stdout.buffer)

sys.stdout.flush()

- Tutorium Python
- Leitfaden des Unterrichts zu quadratischen Gleichungen

Eigenschaften von charakteristischen quadratischen Gleichungen

 - Normalparabel, Normal- und Scheitelform quadr. Gleichungen 
   Seite 190 von Mathematik 5. bis 10. Klasse
   ISBN: 978-3-411-71505-3

  Zum Vergrößern auf das Bild klicken

Binomische Formeln und ihr Einsatz bei quadratischen Gleichungen

 - Wikipediaeintrag

Übungen zu Binomischen Formeln, Gesamtschule, 8. Klasse

 - Binomische Formel finden, Ausdrücke vereinfachen

Die binomischen Formeln sind:

1) Erste binomische Formel - Plus-Formel

 ‎ $(a+b)^{2}\ =(a+b)*\ (a+b)=a^{2}\ +2*a*b+b^{2}\,\!$

2) Zweite binomische Formel - Minus-Formel

 ‎ $(a-b)^{2}\ =(a-b)*\ (a-b)=a^{2}\ -2*a*b+b^{2}\,\!$

3) Dritte binomische Formel - Plus-Minus-Formel

 ‎ $(a+b)^{2}\ =(a+b)*\ (a-b)=a^{2}\ -b^{2}\,\!$

Überführung der Normalform $y=x^{2}\ +p*x+q\!$ in die Scheitelform $y=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\ +q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\,\!$

 Man kann von der 1. Binomischen Formel ausgehen:

  $\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\ =x^{2}\ +p*x+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\,\!$   Wahl von p/2, weil dann auf der rechten Seite x^2 + p*x auftaucht

 Vertauschen der beiden Seiten:

  $x^{2}\ +p*x+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ =\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\,\!$ 

 Wenn man also eine Gleichung mit

  $x^{2}\ +p*x+q=y$ 

 hat, dann kann auf der linken Seite

  $\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\,\!$ 

 addiert werden, um die binomische Vereinfachung zu bekommen:

  $x^{2}\ +p*x+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ +q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ =y\,\!$ 

 Das ist dann:

  $\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\ +q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ =y\!$  - Zu dieser Gleichung kann man gleich kommen

 q - (p/2)^2 ist eine Konstante, kann also als d geschrieben werden:

  $\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\ +d=y\!$  - Das ist die Scheitelform einer quadratischen Gleichung

 Der Scheitel S ist sofort abzulesen als: S=(-p/2|d)


 Ausgeschriebene Formel:


  $s=\left(\color {Darkgreen}-{\frac {p}{2}},\quad q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\ \color {Black}\right)\!$

Überführung der allgemeinen Form $y=ax^{2}\ +px+q\!$ in die Scheitelform $y=\left({\sqrt {a}}x+{\frac {p}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\ +q-{\frac {p^{2}\ }{4*a}}\!$

 Man hat die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung mit Faktor a vor dem x^2 zu nehmen:


  $y=a*x^{2}\ +px+q\!$ 


 Man vergleicht sie mit der Zielgleichung, in der andere Koeffizienten auftreten.

 Es wird also ein Koeffizientenvergleich vorgenommen:


  $y=(m*x+n)^{2}\ +z\!$ 


 Wenn diese Gleichung durch Auflösen:


  $y=(m*x+n)^{2}\ +z\quad =\quad (m*x+n)*(m*x+n)+z\quad =\quad m^{2}\ *x^{2}\ +2*m*n*x+n^{2}\ +z\!$ 


 vereinfacht wird, dann kann man leicht die Zugehörigkeit der Koeffizienten sehen.


  $m^{2}\ =a;\quad 2*m*n=p;\quad n^{2}\ +z=q\!$ 


 Nach den gesuchten Koeffizienten m,n und z umstellen:


  $m={\sqrt {a}};\quad n={\frac {p}{(2*m)}};\quad z=q-n^{2}\,\!$ 


 Von links nachts rechts wird jetzt die jeweils vorhergehende Relation eingesetzt:


  $m={\sqrt {a}};\quad n={\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}};\quad z=q-{\frac {p^{2}\ }{(4*a)}}\!$ 


 Die gesuchte Scheitelform ist dann:


  $y=\left({\sqrt {a}}*x+{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}\right)^{2}\ +q-{\frac {p^{2}\ }{(4*a)}}\!$   Gleichung 1)


 Zu den Scheitelkoordinaten kommt man:


  $s_{x}\,\!$  , der x-Wert des Scheitels, liegt innerhalb der ()^2-Form:


  ${\sqrt {a}}*s_{x}\ +{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}=0\!$ 


 Umstellen nach  $s_{x}\ \!$   ergibt:

 
  ${\sqrt {a}}*s_{x}\ +{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}=0{\text{     }}\quad \quad |-{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}\!$ 


  ${\sqrt {a}}*s_{x}\ =-{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}})}}{\text{     }}\quad \quad \quad |:{\sqrt {a}}\!$ 


  $s_{x}\ =-{\frac {p}{(2*{\sqrt {a}}*{\sqrt {a}})}}\!$ 


  $s_{x}\ =-{\frac {p}{(2*a)}}\!$ 


 Der y-Wert des Scheitels kann direkt an Gleichung 1) abgelesen werden:


  $s_{y}\ =q-{\frac {p^{2}\ }{(4*a)}}\!$ 


 Der Scheitel hat also die Koordinaten:


  $s=\left(\color {Darkgreen}{\frac {-p}{(2*a)}},\quad \color {Darkgreen}q-{\frac {p^{2}}{(4*a)}}\right)\!$

Python-Code für die allgemeine quadratische Gleichung

Dieser Online-Compiler ist für Matplotlib zu verwenden!

- Für den folgenden Quellcode
- Hauptseite Python von W3Schools
- Erweiterter Code mit Unterteilung in Normparabel, Ursprungsgerade und horizontaler Gerade

import sys
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Ausgangsgleichung: y=a*x^2 + px + q
a = 1
p = 2/2
q = 2
#Zwei Punkte im gleichen Abstand links und rechts vom Scheitel werden ausgerechnet und gezeichnet: Wichtig für die beiden Punkte im Abstand vom Scheitelpunkt
AbstandVomScheitel = 10
#Die Grenzen links und rechts des Graphen:
GrenzeGraph = 100
xpoints = np.linspace(-GrenzeGraph,GrenzeGraph,2*GrenzeGraph)
#{\displaystyle y=({\sqrt {a}}*x+p/(2*{\sqrt {a}}))^{2}\ +q-p^{2}\ /(4*a)\!}
ypoints = (np.sqrt(a) * xpoints + p/(2*np.sqrt(a)))**2 + q - p**2/(4*a)
#x-Wert des Scheitels: {\displaystyle s_{x}\ =-p/(2*a)\!}
xs = -p/(2*a)
print("x-Wert des Scheitels: {}".format(xs))
ys = q - p**2/(4*a)
print("y-Wert des Scheitels: {}".format(ys))
#Einzelne Werte: Hier xpoints = 1
xpointsEins = np.asarray([xs-AbstandVomScheitel,xs,xs+AbstandVomScheitel])
ypointsEins = (np.sqrt(a) * xpointsEins + p/(2*np.sqrt(a)))**2 + q - p**2/(4*a)
print("y-Werte bei xs{} = {}, xs als der Scheitel: {}, xs+{} = {} sind: {}".format(-GrenzeGraph, AbstandVomScheitel, xs, GrenzeGraph, AbstandVomScheitel,ypointsEins))
#plt.plot(xpoints, ypoints)
#plt.show()
#Two lines to make our compiler able to draw:
#plt.savefig(sys.stdout.buffer)
#sys.stdout.flush()
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 10), tight_layout=True)
label1 = 'Scheitelpunkt xs: '+ str(xs) + ' ys: ' + str(ys)
labelXLinks = 'Punkt x: ' + str(xs-AbstandVomScheitel) + ' y: ' + str(ypointsEins[0])
labelXRechts = 'Punkt x: ' + str(xs+AbstandVomScheitel) + ' y: ' + str(ypointsEins[2])
#single point
ax[0].plot(xpoints, ypoints)
ax[0].plot(xs, ys, '-ro', label=label1)
ax[0].plot(xs-AbstandVomScheitel, ypointsEins[0], 'go', label=labelXLinks) # use this to plot a single point
ax[0].plot(xs+AbstandVomScheitel, ypointsEins[2], 'go', label=labelXRechts) # use this to plot a single point
ax[0].set(title='Markers - 1 point')
ax[0].legend()
#plt.show()

#Two lines to make our compiler able to draw:
plt.savefig(sys.stdout.buffer)
sys.stdout.flush()

Geogebra - Aufgabe zum Zeichnen von Graphen der Form y = ax^2 + bx + c

  - Diese Aufgabe übt die quadratische Ergänzung des vorigen Abschnittes

Geometrie

Flächen- und Volumenberechnungen bei Pyramide und Kegel

Aufgabenfuchs

  - Oberflächen und Volumen bei Pyramiden und Kegeln

Aufgaben aus Lambacher Schweizer (6-13)

  - Unterschiedliche Schweirigkeitsgrade

Geometrische Begründung, warum Volumina von schiefen und geraden Pyramiden gleich sind

  - Aufgabe 5

Wurzelberechnungen als Umkehrung des Potenzierens

Python-Code

The math module was imported only for checking purposes.

import math

Method to calculate the root of the given number in form of a integer.
That why the name: *INTEGRAL* Root.

def integral_root(number, power = 2):

   for i in range(int(number)+1):
       if i**power == number:
           return i
       elif i**power > number:
           return i-1

def root(number, power = 2, precision = 13):

   num = str(integral_root(number, power)) + "." # Making a floating number in form of a string.

   # Checking if the integral root of the given number is the actual root.
   # Example: integral root of 25 is 5, and it is the actual answer as well.
   if(float(num)**power == number):
       return float(num)

   for i in range(min(precision + 1, 16)):
       added = False # Boolean to store if the next digit has been added.

       # The calculation of the root takes place digit by digit.
       for j in range(1, 10):
           n = float(num + str(j)) # Getting the floating point number from the string.

           # If the number to the required power is equal to the actual number then the answer has been found.
           if n**power == number: 
               return n 
           elif n**power > number:
               num += str((j-1))
               added = True # the number was added so set 'added' to true.
               break

       # Adding a 9 to the string form of the number if no other digit was added.
       if not added:
           num += "9"
       # I don't know how to explain it, but this is very much required for proper calculation.

   return float(num) # Returning the answer.

MAIN PROGRAM START This program is able to calculate pretty accurately. This program has been tested with upto power of 500, and the results were pretty accurate! number = float(input("Enter the number: ")) # Getting the number. powe = int(input("Enter the power: ")) # Getting the power of the root. print(root(number, power = powe, precision = 15)) # Calculating the root and printing. print(math.pow(number, 1/powe)) # Statement for checking purpose.

MAIN PROGRAM END
PROGRAM BY 'JAMES COLLINS'

Johannes