Szonja

1.121 Die Binomialverteilung

1. Einfache Einführung ins Thema
2. Einführung mit Verweis auf das zugrundeliegende Urnenmodel (Ziehen mit Zurücklegen)
3. Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung

2.1 Kurvendiskussion

1. Wikipediaartikel zur Kurvendiskussion
2. Onlinerechner zur Kurvendiskussion

Auszug aus dem Wikipediaartikel, Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

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Extrempunkte

Um die Extrempunkte – das heißt Hoch- und Tiefpunkte – einer stetig differenzierbaren Funktion $f$ zu bestimmen, wird die erste Ableitung von $f$ gleich 0 gesetzt, das heißt, die Lösungsmenge der Gleichung $f'\,(x)=0$ wird berechnet. Alle Lösungen dieser Gleichung sind mögliche sogenannte Extremstellen.

Die Bedingung $f'\,(x)=0$ ist allerdings nur eine notwendige Bedingung für Extremstellen. Eine Stelle mit der Steigung 0 könnte auch ein Sattelpunkt sein. Das Standardbeispiel ist $f(x)=x^{3}$ an der Stelle 0. Obwohl $f'\,(0)=0$ gilt, ist der Punkt $(0|0)$ kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt.

Zum Nachweis der Extrempunkteigenschaft benötigt man daher eine der weiter unten genannten hinreichenden Bedingungen.

Notwendige Bedingung

Es leuchtet anschaulich ein, dass die Tangente an einen Funktionsgraphen in einem Extrempunkt parallel zur $x$-Achse verlaufen muss. Die Steigung einer solchen Tangente muss also den Wert 0 haben. Präziser gilt:

• $f$ sei eine reelle Funktion, die auf einem offenen Intervall $I$ definiert und an der Stelle $x_{0}$ (mit $x_{0}\in I$) differenzierbar ist. Nimmt $f$ an der Stelle $x_{0}$ ein relatives Extremum (also ein relatives Maximum oder Minimum) an, so gilt $f'\,(x_{0})=0$.

Am Rand des Definitionsbereichs und an Stellen, an denen die gegebene Funktion nicht differenzierbar ist, sind die Voraussetzungen dieser Bedingung nicht erfüllt. Relative Extrema an solchen Stellen lassen sich also im Allgemeinen nicht durch Nullsetzen der Ableitung bestimmen.

Hinreichende Bedingung: Wert der zweiten Ableitung

Die folgende hinreichende Bedingung bietet oft eine bequeme Möglichkeit, den Nachweis für ein relatives Extremum zu führen und zugleich die Art (Maximum oder Minimum) zu bestimmen. Da auch die zweite Ableitung benötigt wird, spricht man gelegentlich vom $f''$-Test.

• $f$ sei eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall $I$ definiert und zweimal differenzierbar ist.

Gilt an einer Stelle $x_{0}\in I$ zugleich

1. $f'(x_{0})=0$ und
2. $f''(x_{0})>0$,

so hat $f$ an dieser Stelle ein relatives Minimum.

Gilt dagegen zugleich

1. $f'(x_{0})=0$ und
2. $f''(x_{0})<0$,

so hat $f$ an dieser Stelle ein relatives Maximum.

Beispiel:

${\begin{aligned}f(x)&=-x^{2}+8x\\f'(x)&=-2x+8\\f''(x)&=-2\end{aligned}}$

Durch Nullsetzen der ersten Ableitung ($-2x+8=0$) erhält man $x=4$. Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt $f''(4)=-2<0$ (Bedingung für ein relatives Maximum). Der Graph von $f$ hat also genau einen Extrempunkt, nämlich einen Hochpunkt mit der $x$-Koordinate 4.

Gelegentlich gilt sowohl $f'(x_{0})=0$ als auch $f''(x_{0})=0$. In diesem Fall sind weitere Untersuchungen nötig, um zu entscheiden, ob eine Extremstelle vorliegt oder nicht. Das bedeutet konkret, dass solange abgeleitet werden muss, bis eine Ableitung gerader Ordnung – vierter, sechster, … Ordnung – vorliegt, die an dieser Stelle ungleich 0 ist.

Das einfachste Beispiel ist $f(x)=x^{4}$. Die ersten drei Ableitungen an der Stelle $x_{0}=0$, also $f'(0)$, $f''(0)$ und $f'''(0)$ haben jeweils den Wert 0. Erst die vierte Ableitung $f^{(4)}(x)=24$ ermöglicht wegen $f^{(4)}(0)=24\neq 0$ den Nachweis des Extremums. Das positive Vorzeichen lässt erkennen, dass sich an der Stelle $x_{0}=0$ ein relatives Minimum befindet.

In seltenen Fällen versagt auch dieses allgemeinere Kriterium, nämlich dann, wenn alle Ableitungen an der Stelle $x_{0}$ gleich 0 sind.

Hinreichende Bedingung: Vorzeichen der ersten Ableitung

Ein weiteres Verfahren zum Nachweis der Extrempunkteigenschaft kommt ohne die Berechnung der zweiten Ableitung aus. Es wird untersucht, ob die erste Ableitung $f'(x)$ an der betrachteten Stelle $x_{0}$ ihr Vorzeichen wechselt. Diese Methode, gelegentlich als Vorzeichenwechsel-Verfahren (VZW-Verfahren) bezeichnet, lässt sich folgendermaßen anschaulich deuten:

Durchläuft man den Funktionsgraphen in der Umgebung eines Hochpunkts von links nach rechts, so lässt sich das Aussehen dieser Kurve wie folgt beschreiben:

1. Links vom Hochpunkt steigt der Funktionsgraph an. Die Steigung ist positiv.
2. Im Hochpunkt selbst verläuft die Tangente waagerecht. Die Steigung ist 0.
3. Rechts vom Hochpunkt fällt der Funktionsgraph. Die Steigung ist negativ.

Entsprechendes, nur umgekehrt, gilt für Tiefpunkte.

• $f$ sei eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall $I$ definiert und differenzierbar ist.

Gilt an einer Stelle $x_{0}\in I$ zugleich

1. $f'(x_{0})=0$,
2. $f'(x)<0$ für $x<x_{0},\,x\in I$ und
3. $f'(x)>0$ für $x>x_{0},\,x\in I$,

so hat $f$ an dieser Stelle ein relatives Minimum.

Gilt an einer Stelle $x_{0}\in I$ zugleich

1. $f'(x_{0})=0$,
2. $f'(x)>0$ für $x<x_{0},\,x\in I$ und
3. $f'(x)<0$ für $x>x_{0},\,x\in I$,

so hat $f$ an dieser Stelle ein relatives Maximum.

Beispiel:

$f(x)=x^{4}$

$f'(x)=4x^{3}$

Nullsetzen der Ableitung ($4x^{3}=0$) liefert als Stelle mit waagerechter Tangente und damit als Kandidaten für eine Extremstelle $x=0$. Beim VZW-Test betrachtet man $x$-Werte, die kleiner bzw. größer als 0 sind.

$f'(x)=4x^{3}<0$ für $x<0$

$f'(x)=4x^{3}>0$ für $x>0$

zeigt, dass ein Tiefpunkt vorliegt.

Ein Problem des VZW-Tests besteht darin, dass das Vorzeichen der Ableitung nicht nur für eine einzige Stelle ermittelt werden muss, sondern für ein ganzes Intervall. In der Schulmathematik bestimmt man daher oft nur für eine einzelne Stelle des Intervalls das Vorzeichen und schließt daraus, dass dieses Vorzeichen im ganzen Intervall gilt. Diese Vorgehensweise ist erlaubt, wenn die Funktion im Intervall $I$ stetig differenzierbar ist.

Historische Randbemerkung: Die Bestimmung der Extrema aus der Tangentensteigung wurde erstmals von Fermat in einem Brief an Descartes vorgeschlagen – bevor es den Ableitungsbegriff gab.

Wendepunkte

Als Wendepunkte bezeichnet man diejenigen Punkte, in denen der gegebene Funktionsgraph zwischen Links- und Rechtskrümmung wechselt. Die Art der Krümmung lässt sich – unter gewissen Voraussetzungen – am Vorzeichen der zweiten Ableitung $f''(x)$ erkennen. Positives Vorzeichen lässt auf Linkskrümmung schließen, negatives Vorzeichen auf Rechtskrümmung. Beim Standardverfahren zur Bestimmung der Wendepunkte setzt man daher die zweite Ableitung gleich 0. Die Lösungen der Gleichung $f''(x)=0$ (siehe notwendige Bedingung) kommen als Wendestellen in Frage. Mit einer der unten aufgeführten hinreichenden Bedingungen weist man anschließend nach, dass tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt.

An bayerischen Beruflichen Oberschulen werden Wendestellen als Extremstellen der ersten Ableitung definiert.<ref>Friedrich Barth u. a. (Hrsg.): Mathematische Formeln und Definitionen. S. 64</ref>

Notwendige Bedingung

• $f$ sei eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall $I$ definiert und zweimal stetig differenzierbar ist. Hat der Graph von $f$ an der Stelle $x_{0}\in I$ einen Wendepunkt, so gilt

$f''(x_{0})=0.$

Hinreichende Bedingung: Wert der dritten Ableitung

Die zuletzt genannte Bedingung ist nicht hinreichend, sodass weitere Untersuchungen durchzuführen sind. Eine häufig zum Nachweis von Wendepunkten verwendete hinreichende Bedingung beruht auf der dritten Ableitung:

• $f$ sei eine reelle Funktion, die in einem offenen Intervall $I$ definiert und dreimal differenzierbar ist. Gilt an einer Stelle $x_{0}\in I$ zugleich

1. $f''(x_{0})=0$ und
2. $f'''(x_{0})\neq 0,$

so hat der Graph von $f$ an der Stelle $x_{0}$ eine Wendestelle.

Hinreichende Bedingung: Vorzeichen der zweiten Ableitung

Ist an der Stelle $x_{0}$ neben der zweiten Ableitung auch die dritte Ableitung gleich 0, so versagt das zuletzt genannte Kriterium. In diesem Fall untersucht man, ob die zweite Ableitung bei $x_{0}$ das Vorzeichen wechselt. Zu diesem Zweck wählt man sich einen Wert kleiner und einen größer als die Nullstelle der zweiten Ableitung (also der $x$-Koordinate des Wendepunktes). Diese beiden Werte werden in die zweite Ableitung eingesetzt. Unterscheiden sich die Vorzeichen der Werte der zweiten Ableitung an diesen Stellen, so liegt ein Wendepunkt vor. Wechselt das Vorzeichen von Minus nach Plus, so handelt es sich um eine Wendestelle mit einem Übergang von einer Rechts- in eine Linkskrümmung. Wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, so handelt es sich um eine Wendestelle mit einem Übergang von einer Links- in eine Rechtskrümmung.

• $f$ sei eine reelle Funktion, die im offenen Intervall $I$ definiert und zweimal differenzierbar ist. Gilt an der Stelle $x_{0}\in I$ zugleich

1. $f''(x_{0})=0$,
2. $f''(x)<0$ für $x<x_{0}$, $x\in I$ und
3. $f''(x)>0$ für $x>x_{0}$, $x\in I$

oder zugleich

1. $f''(x_{0})=0$,
2. $f''(x)>0$ für $x<x_{0}$, $x\in I$ und
3. $f''(x)<0$ für $x>x_{0}$, $x\in I$,

so hat der Graph von $f$ an der Stelle $x_{0}$ eine Wendestelle.

Spezialfall: Sattelpunkte

Einen Wendepunkt mit zugleich waagerechter Tangente nennt man einen Sattelpunkt oder Terrassenpunkt. Für ihn gilt demnach $f'(x)=0$ und $f''(x)=0$, wie im Beispiel der Funktion mit der Gleichung

$f(x)={x^{3}}$

an der Stelle $x=0$.

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Allerdings ist das kein hinreichendes Kriterium, es kann auch $f'(x)=0$ und $f''(x)=0$ werden, ohne dass ein Sattelpunkt auftritt, wie im nachfolgenden Beispiel gezeigt wird:

$f(x)={x^{4}}$

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Erst wenn $f'''\neq 0$ ist, ist ein Sattelpunkt erwiesen; allgemeiner gilt: Es liegt ein Wendepunkt vor, wenn der Grad der ersten von 0 verschiedenen Ableitung ungerade ist; ist der Grad gerade, so handelt es sich um ein Extremum. In Fällen wie

$f(x)={x^{5}}$

ist allerdings die dritte Ableitung unnütz, da auch diese an der Stelle 0 verschwindet. Hier hilft das Vorzeichenwechselkriterium weiter.

Aufgaben am 24.05.2023

1. Abitur 2018:
   1. Binomialverteilung (leicht): Seite 17, Teilaufgabe d)
   2. Keine Binomialverteilung, daher mit Übergangsgraph zu errechnen: Seite 25, Teilaufgabe c. (vielleicht nehmen)
   3. Binomialverteilung, 2017-2, Teilaufgabe d)
      1. 3.1) Fläche unter Kurve, 2017-1, Teilaufgabe a)
      2. Liegen zwei Vektoren auf einer Geraden?, Teilaufgabe c)

1. Abitur 2019:
   1. 2018-1
      1. a) mit Schnittpunkt zweier Geraden in Parameterform in linearer Algebra,
      2. b) Schnittpunkte zweier Graphen in Funktionalanalysis,
      3. c) quadratische Funktion mit Bestimmung des Bereichs, für den das Integral kleiner Null ist (wichtig!!) und
      4. d) Binomialverteilungen mit Begründungen, warum welche Histogramme keine solche Verteilung darstellen (gut für Grundlagen, siehe 1.121, 3) )
   2. Seite 78
      1. a) Binomialverteilung mit Unterschieden zw. Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte

Baumdiagramme zeichnen und als SVG-Graphik speichern

1. Online-Werkzeug