Johannes

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Die Binomialverteilung

1. Einfache Einführung ins Thema
2. Einführung mit Verweis auf das zugrundeliegende Urnenmodel (Ziehen mit Zurücklegen)
3. Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung

Aufgaben am 24.05.2023

1. Wahrscheinlichkeitsrechnung, mehrstufige Zufallsexperimente
   1. Aufgaben unten
   2. Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben als PDF
   3. Binomialverteilung, 2017-2, Teilaufgabe d)
      1. 3.1) Fläche unter Kurve, 2017-1, Teilaufgabe a)
      2. Liegen zwei Vektoren auf einer Geraden?, Teilaufgabe c)

1. Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 8 Kugeln: 
6 weiße und 2 schwarze. 
Es wird nacheinander je eine Kugel gezogen. 
Unterscheide: 
a) mit Zurücklegen der gezogenen Kugel 
b) ohne Zurücklegen der gezogenen Kugel 
1. Zeichne den Ereignisbaum für die zwei Fälle. 
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird zweimal eine schwarze Kugel gezogen? 
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird keine schwarze Kugel gezogen? 
4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mindestens einmal eine schwarze Kugel gezogen? 
5. Für welchen Fall ist die Wahrscheinlichkeit größer, zweimal eine schwarze Kugel zu ziehen: mit 
Zurücklegen oder ohne Zurücklegen? 

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2. Aufgabe

Du würfelst mit einem Würfel zweimal hintereinander. 
1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, jedes Mal die 
gleiche Zahl zu würfeln? 
2. Wie viele Äste gibt es in dem Ereignisbaum? 
3. Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, als Augensumme 
mindestens 10 zu würfeln? 
4. Du möchtest für ein Gewinnspiel eine Gewinn-Wahrscheinlichkeit von maximal 20%. Wir 
würfeln 2x auf maximale Augensumme. Bei welcher Augensumme werden die 20% 
Gewinnwahrscheinlichkeit nicht überschritten? 

Baumdiagramme zeichnen und als SVG-Graphik speichern

1. Online-Werkzeug

Aufgaben am 14.06.2023

1. Ähnlichkeitsbetrachtungen an Dreiecken
   1. Verdeutlichung Ähnlichkeitsbeziehungen innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks mit Geogebra Wenn man die Strecke B'-C' des blauen Dreiecks der Strecke B-C gleichmacht, dann kann man beide Seiten aneinaderlegen um bekommt ein neues rechtwinkliges Dreieck. Das hat dann die Ähnlichkeitsbetrachtungen in sich!
   2. Beweis der Ähnlichkeitsbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck, Arndt Brunner
   3. Beweis des Pythagoras durch Ähnlichkeitsbetrachtungen, gute Übung zu 1)
   4. Erklärungen SSS, WSW, SWS,SsW
   5. Aufgaben 1, Dreiecke sind ähnlich, berechne fehlende Seitenlängen
   6. Aufgaben 2, Verbindung von Strahlensätzen und Ahnlichkeiten, Aufgaben, die Johannes im Unterricht hatte
   7. Aufgaben 3, schwerere Aufgaben aus Mathe und Physik
   8. Aufgaben 4, Maßstab bei Abbildungen, gute Übungen dazu

Aufgaben 05.07.2023

1. Differentialgleichungssysteme lösen:
   1. Eigene Geogebraaufgabe
   2. Klassenarbeiten.de - Aufgaben
   3. Viele Aufgaben, über das Thema hinweg, die Textgleichungen führen zu LGS!!!!
   4. 1) Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 2) 3)
   5. Gut zur Verdeutlichung von LGs, Seite 13

Grundsätzliches zur Addition und Multiplikation

Unterschied zwischen Addition und Multiplikation

Verdeutlichung des Unterschieds zwischen Addition und Multiplikation

Allgemeine Beziehungen zwischen Addition und Multiplikation

Erklärungsmodelle zur Multiplikation und!!!! Division

Erklärungsmodelle zur Multiplikation und!!! Division

Addition und Multiplikation von Brüchen

 - Geogebra - geometrische Erklärung der Addition von Brüchen
 - Geogebra - geometrische Erklärung der Multiplikation von Brüchen

Gleichungen umstellen

Regeln / Hinweise zum Umstellen von Gleichungen

Beim Umstellen von Gleichungen muss auf beiden Seiten der gleiche Rechenschritt durchgeführt werden (zum Beispiel beide Seiten durch 3 teilen).

1) Durch die Zahl 0 (Null) darf nicht geteilt werden.

2) Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion.

3) Die Umkehrung der Subtraktion ist die Addition.

4) Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division.

5) Die Umkehrung der Division ist die Multiplikation.

6) Die Regel Punkt vor Strich muss beachtet werden.

Starke und schwache Verknüpfungen

In der Gleichung 2*x +5 = 11 sind:

2*x als Multiplikation eine starke,

+ 5 als Addition eine schwache Verknüpfung.

 Regel zur Reihenfolge von Verknüpfungen: Schwache werden in der Regel vor starken Verknüpfungen umgestellt.

Geogebra - Hilfsmittel zum Umstellen von Gleichungen

- Gleichsetzungsverfahren

Geogebra - Aufgabe: Geraden nach Geradengleichungen zeichnen!! - Schwierig wegen Faktoren vor x

- Eine Gerade
- Zwei Geraden

Quadratische Gleichungen

- Python Interpreter Online

Source code, der zeigt, dass eine quadratische Gleichung der Form y = a*x^2 + b*x + c bezüglich symmetrischer 
Grenzen von x in y unsymmetrisch ist.
Dieser Online-Compiler ist für Matplotlib zu verwenden!

- Für den folgenden Quellcode
#Three lines to make our compiler able to draw:

import sys

import matplotlib

#matplotlib.use('Agg')

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

a=2

b=3

c=4

x = np.array([-10, 10])

x = np.linspace(-10,10,100)

ypoints = a*x**2 + b * x +c

plt.plot(x, ypoints)

plt.show()

#Two  lines to make our compiler able to draw:

plt.savefig(sys.stdout.buffer)

sys.stdout.flush()

- Tutorium Python
- Leitfaden des Unterrichts zu quadratischen Gleichungen 

Eigenschaften von charakteristischen quadratischen Gleichungen

 - Normalparabel, Normal- und Scheitelform quadr. Gleichungen 
   Seite 190 von Mathematik 5. bis 10. Klasse
   ISBN: 978-3-411-71505-3 

  Zum Vergrößern auf das Bild klicken

Binomische Formeln und ihr Einsatz bei quadratischen Gleichungen

 - Wikipediaeintrag

Übungen zu Binomischen Formeln, Gesamtschule, 8. Klasse

 - Binomische Formel finden, Ausdrücke vereinfachen

Die binomischen Formeln sind:

1) Erste binomische Formel - Plus-Formel

 ‎$(a+b)^{2}\ =(a+b)*\ (a+b)=a^{2}\ +2*a*b+b^{2}\,\!$
 

2) Zweite binomische Formel - Minus-Formel

 ‎$(a-b)^{2}\ =(a-b)*\ (a-b)=a^{2}\ -2*a*b+b^{2}\,\!$
 

3) Dritte binomische Formel - Plus-Minus-Formel

 ‎$(a+b)^{2}\ =(a+b)*\ (a-b)=a^{2}\ -b^{2}\,\!$

Überführung der Normalform einer quadratischen Gleichung in die Scheitelform - Quadratische Ergänzung

 Man kann von der 1. Binomischen Formel ausgehen:

 $(x+p/2)^{2}\ =x^{2}\ +p*x+(p/2)^{2}\,\!$  Wahl von p/2, weil dann auf der rechten Seite x^2 + p*x auftaucht - man hat den besseren Überblick

 Vertauschen der beiden Seiten:

 $x^{2}\ +p*x+(p/2)^{2}\ =(x+p/2)^{2}\,\!$

 Wenn man also eine Gleichung mit

 $x^{2}\ +p*x+q=y$

 hat, dann kann auf der linken Seite

 $(p/2)^{2}-(p/2)^{2}\,\!$

 addiert werden, um die binomische Vereinfachung zu bekommen:

 $x^{2}\ +p*x+(p/2)^{2}\ +q-(p/2)^{2}\ =y\,\!$

 Das ist dann:

 $(x+p/2)^{2}\ +q-(p/2)^{2}\ =y\!$ - Zu dieser Gleichung kann man gleich kommen

 q - (p/2)^2 ist eine Zahl, kann also als d geschrieben werden:

 $(x+p/2)^{2}\ +d=y\!$ - Das ist die Scheitelform einer quadratischen Gleichung</font<

 Der Scheitel S ist sofort abzulesen als: S=(-p/2|d)


 Ausgeschriebene Formel:


 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_xy\ = (-p/2, q - (p/2)^2\) \!}

Überführung der allgemeinen Form $y=a*x^{2}\ +p*x+q\!$   in die Scheitelform $y=({\sqrt {a}}*x+p/(2*{\sqrt {a}}))^{2}\ +q-p^{2}\ /(4*a)\!$

 Man hat die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung mit Faktor a vor dem x^2 zu nehmen:


 $y=a*x^{2}\ +px+q\!$


 Man vergleicht sie mit der Zielgleichung, in der andere Koeffizienten auftreten.

 Es wird also ein Koeffizientenvergleich vorgenommen:


 $y=(m*x+n)^{2}\ +z\!$


 Wenn diese Gleichung durch Auflösen:


 $y=(m*x+n)^{2}\ +z=(m*x+n)*(m*x+n)+z=m^{2}\ *x^{2}\ +2*m*n*x+n^{2}\ +z\!$


 vereinfacht wird, dann kann man leicht die Zugehörigkeit der Koeffizienten sehen.


 $m^{2}\ =a;2*m*n=p;n^{2}\ +z=q\!$


 Nach den gesuchten Koeffizienten m,n und z umstellen:


 $m={\sqrt {a}};n=p/(2*m);z=q-n^{2}\,\!$


 Von links nachts rechts werden jetzt die jeweils nachfolgende Relation eingesetzt:


 $m={\sqrt {a}};n=p/(2*{\sqrt {a}});Z=q-(p^{2}\ )/(4*a)\!$


 Die gesuchte Scheitelform ist dann:


 $y=({\sqrt {a}}*x+p/(2*{\sqrt {a}}))^{2}\ +q-p^{2}\ /(4*a)\!$  Gleichung 1)


 Zu den Scheitelkoordinaten kommt man:


 $s_{x}\,\!$ , der x-Wert des Scheitels, liegt innerhalb der ()^2-Form:


 ${\sqrt {a}}*s_{x}\ +p/(2*{\sqrt {a}})=0\!$


 Umstellen nach $s_{x}\ \!$  ergibt:

 
 ${\sqrt {a}}*s_{x}\ +p/(2*{\sqrt {a}})=0{\text{     }}|-p/(2*{\sqrt {a}})\!$


 ${\sqrt {a}}*s_{x}\ =-p/(2*{\sqrt {a}}){\text{     }}|:{\sqrt {a}}\!$


 $s_{x}\ =-p/(2*{\sqrt {a}}*{\sqrt {a}})\!$


 $s_{x}\ =-p/(2*a)\!$


 Der y-Wert des Scheitels kann direkt an Gleichung 1) abgelesen werden:


 $s_{y}\ =q-p^{2}\ /(4*a)\!$


 Der Scheitel hat also die Koordinaten:


 $s=(-p/(2*a),q-p^{2}/(4*a))\!$

Python-Code für die allgemeine quadratische Gleichung

Dieser Online-Compiler ist für Matplotlib zu verwenden!

- Für den folgenden Quellcode
- Hauptseite Python von W3Schools
- Erweiterter Code mit Unterteilung in Normparabel, Ursprungsgerade und horizontaler Gerade

import sys
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Ausgangsgleichung: y=a*x^2 + px + q
a = 1
p = 2/2
q = 2
#Zwei Punkte im gleichen Abstand links und rechts vom Scheitel werden ausgerechnet und gezeichnet: Wichtig für die beiden Punkte im Abstand vom Scheitelpunkt
AbstandVomScheitel = 10
#Die Grenzen links und rechts des Graphen:
GrenzeGraph = 100
xpoints = np.linspace(-GrenzeGraph,GrenzeGraph,2*GrenzeGraph)
#{\displaystyle y=({\sqrt {a}}*x+p/(2*{\sqrt {a}}))^{2}\ +q-p^{2}\ /(4*a)\!}
ypoints = (np.sqrt(a) * xpoints + p/(2*np.sqrt(a)))**2 + q - p**2/(4*a)
#x-Wert des Scheitels: {\displaystyle s_{x}\ =-p/(2*a)\!}
xs = -p/(2*a)
print("x-Wert des Scheitels: {}".format(xs))
ys = q - p**2/(4*a)
print("y-Wert des Scheitels: {}".format(ys))
#Einzelne Werte: Hier xpoints = 1
xpointsEins = np.asarray([xs-AbstandVomScheitel,xs,xs+AbstandVomScheitel])
ypointsEins = (np.sqrt(a) * xpointsEins + p/(2*np.sqrt(a)))**2 + q - p**2/(4*a)
print("y-Werte bei xs{} = {}, xs als der Scheitel: {}, xs+{} = {} sind: {}".format(-GrenzeGraph, AbstandVomScheitel, xs, GrenzeGraph, AbstandVomScheitel,ypointsEins))
#plt.plot(xpoints, ypoints)
#plt.show()
#Two lines to make our compiler able to draw:
#plt.savefig(sys.stdout.buffer)
#sys.stdout.flush()
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 10), tight_layout=True)
label1 = 'Scheitelpunkt xs: '+ str(xs) + ' ys: ' + str(ys)
labelXLinks = 'Punkt x: ' + str(xs-AbstandVomScheitel) + ' y: ' + str(ypointsEins[0])
labelXRechts = 'Punkt x: ' + str(xs+AbstandVomScheitel) + ' y: ' + str(ypointsEins[2])
#single point
ax[0].plot(xpoints, ypoints)
ax[0].plot(xs, ys, '-ro', label=label1)
ax[0].plot(xs-AbstandVomScheitel, ypointsEins[0], 'go', label=labelXLinks) # use this to plot a single point
ax[0].plot(xs+AbstandVomScheitel, ypointsEins[2], 'go', label=labelXRechts) # use this to plot a single point
ax[0].set(title='Markers - 1 point')
ax[0].legend()
#plt.show()

#Two lines to make our compiler able to draw:
plt.savefig(sys.stdout.buffer)
sys.stdout.flush()

Geogebra - Aufgabe zum Zeichnen von Graphen der Form y = a*x^2 + b*x + c

  - Diese Aufgabe übt die quadratische Ergänzung des vorigen Abschnittes