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In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass jede Potenzreihe <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> einen <dfn>Konvergenzradius</dfn> besitzt. Das ist eine reelle Zahl <math>R</math>, so dass die Potenzreihe für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<R</math> absolut konvergiert und für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|>R</math> divergiert. Dabei kann auch <math>R=0</math> und <math>R=\infty</math> gelten. Für den Grenzfall <math>|x|=R</math> kann keine allgemeine Konvergenzaussage getroffen werden. Zur Berechnung des Konvergenzradius werden wir zwei Formeln herleiten. Die Formel von <dfn>Cauchy-Hadamard</dfn> <math>R=1/\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}</math> werden wir aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die Formel von <dfn>Euler</dfn> <math>R=1/\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|</math> aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. Außerdem werden wir noch zahlreiche Beispiele zur Berechnung des Konvergenzradius durchdiskutieren.

== Definition und Existenz des Konvergenzradius ==

Wir wissen bereits, dass beispielsweise die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> oder die für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<1</math> absolut konvergiert und für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|>1</math> divergiert. Es gilt also <math>1=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}</math>. Die Frage ist nun, ob so eine Grenzzahl, der sogenannte <dfn>Konvergenzradius</dfn>, für jede Potenzreihe existiert. Zunächst definieren wir dazu:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Konvergenzradius
 |definition=
Sei <math>(c_k)_{k \in \N}</math> eine Folge und <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> die zugehörige Potenzreihe. Dann heißt 

{{Formel|<math>R=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}</math>}}

der <dfn>Konvergenzradius</dfn> der Potenzreihe.
}}

Wir zeigen nun, dass dieser Konvergenzradius tatsächlich für jede Potenzreihe existiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Existenz des Konvergenzradius
 |satz=
Sei <math>(c_k)_{k \in \N}</math> eine Folge, <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> die zugehörige Potenzreihe und <math>R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}</math>. Dann gilt:

# Die Potenzreihe konvergiert für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<R</math>.
# Die Potenzreihe divergiert für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|>R</math>.

 |beweis= {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Hilfsaussage: Konvergiert die Potenzreihe in <math>x_0 \neq 0</math> , so konvergiert sie in jedem Punkt <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<|x_0|</math> absolut.
 |beweisschritt=
 
Da nach Voraussetzung <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k</math> konvergiert, ist nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] <math>(c_k x_0^k)_{k \in \N_0}</math> eine Nullfolge. Da [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren#Konvergente Folgen sind beschränkt|konvergente Folgen beschränkt sind]], gibt es eine Schranke <math>S>0</math> mit <math>|c_k x_0^k| \le S</math>. Damit folgt für <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<|x_0|</math>:
 
{{Formel|<math>|c_k x^k| = \left| c_k x_0^k \cdot \left( \frac{x}{x_0}\right)^k\right| = |c_k x_0^k |\cdot \underbrace{\left| \frac{x}{x_0}\right|^k}_{=q^k} \le S \cdot q^k </math>}}

Dabei ist <math>q = \left| \frac{x}{x_0} \right| = \frac{|x|}{|x_0|} < 1</math>. Also konvergiert die geometrische Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty S\cdot q^k = S\cdot \sum_{k=0}^\infty q^k</math> absolut. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] konvergiert die Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k</math> ebenfalls absolut.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<R</math>, so konvergiert <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> absolut.
 |beweisschritt=
 
Sei <math>x \in \R</math> mit <math>|x| < R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}</math>. Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es ein <math>r \in \R</math> mit <math>|x|<r<R</math>, für das <math>\sum_{k=0}^\infty c_k r^k</math> konvergiert. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt folgt damit, dass <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> absolut konvergiert.}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist <math>x \in \R</math> mit <math>|x|>R</math>, so divergiert <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math>.
 |beweisschritt=
 
Sei <math>x \in \R</math> mit <math>|x| > R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}</math>. Wir führen hier einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> konvergiert.  Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es erneut ein <math>r \in \R</math> mit <math>R<r<|x|</math>. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt konvergiert dann aber <math>\sum_{k=0}^\infty c_k r^k</math>. Diese ist aber ein Widerspruch zu <math>R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty a_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}</math>. Also kann <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> nicht konvergieren.}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Geometrische Reihe und Verwandtes
 |beispiel=

* Wir haben oben und im Kapitel zuvor schon gesehen, dass die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> den Konvergenzradius <math>R=1</math> hat.
* Ebenso haben die mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}</math> und <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k^2}</math> den Konvergenzradius <math>R=1</math>, denn ist <math>|x|<1</math>, so gilt <math>|a_k| = \frac{|x|^k}{k} \le |x|^k</math> für alle <math>k \in \N</math>. Daher konvergiert die Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}</math> [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der geometrischen Reihe als Majorante. Ist andererseits <math>|x|>1</math>, so divergiert <math>\left( \frac{|x|^k}{k} \right)</math> gegen <math>\infty</math>, als Quotient der geometrischen Folge <math>(|x|^k)</math> mit der Potenzfolge <math>(k^1)</math>. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe. Bei der Reihe <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^2}</math> kann man ganz analog argumentieren.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Im Reelen grenzt der Konvergenzradius anschaulich den Bereich auf der Zahlengerade, in dem die Potenzreihe <math>\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k</math> absolut konvergiert (das Intervall <math>]-R;R[</math>), von den Bereichen ab, in denen die Potenzreihe divergiert (die Intervalle <math>]-\infty ;-R[</math> und <math>]R;\infty [</math>).[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 1.pdf|600px|center|Veranschaulichung des Konvergenzradius]] }}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Analog zum Konvergenradius von Potenzreihen, haben <dfn>Dirichlet-Reihe</dfn>, das sind Reihen der Form <math>\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^s}</math> mit <math>s \in \Q</math>, eine <dfn>Konvergenzabszisse</dfn> <math>\lambda \in \R</math>, so dass die Reihe für alle <math>s>\lambda</math> konvergiert und für alle <math>s<\lambda</math> divergiert. Wir werden hier Dirichlet-Reihen nicht genauer besprechen, da sie nicht Bestandteil der meisten Analysis-Grundvorlesungen sind. Wer Interesse an Dirichlet-Reihe hat kann sich gerne der entsprechenden [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Aufgabe:Dirichletsche Reihen|Übungsaufgabe]] widmen. [[File:Veranschaulichung Konvergenzabszisse.pdf|center|600px|Veranschaulichung der Konvergenzabszisse]]}}

== Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius ==

Zur praktischen Anwendung werden wir nun zwei Formeln für den Konvergenzradius herleiten. Dabei werden wir die erste aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die zweite aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. 

=== Einstiegsbeispiel ===

Dabei schauen wir uns zunächst als konkretes Beispiel die Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{\frac{2^k}{k}}_{=c_k} \cdot x^k</math> an. 

==== Anwendung des Wurzelkriteriums ====

Wir erhalten 

{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} & = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| \frac{2^k}{k} \cdot x^k \right|} \\[0.3em]
& = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\frac{2^k}{k} \cdot |x|^k} \\[0.3em]
& = \limsup_{k\to \infty} \frac{\sqrt[k]{2^k}}{\sqrt[k]{k}} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
& = \limsup_{k\to \infty} \frac{2}{\sqrt[k]{k}} \cdot |x| \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[k]{k} \to 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
& = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
& \begin{cases}
< 1 & \text{ falls } |x|<\frac 12 \\
> 1 & \text{ falls } |x|>\frac 12
\end{cases}
\end{align}</math>}}

Also konvergiert die Reihe absolut für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<\frac 12</math> und divergiert für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|>\frac 12</math>. Sie besitzt damit den Konvergenzradius <math>R=\frac 12</math>. Da immer <math>\sqrt[k]{|x|^k}=|x|</math> gilt, kann man bei Potenzreihen <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> auch direkt dem Limes Superior von <math>\sqrt[k]{|c_k|}</math> bilden. Genauer betrachtet gilt 

{{Formel|<math>R=\frac 12 = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}}</math>}}

Diese Formel heißt die <dfn>Formel von Cauchy-Hadamard</dfn>. Wir werden sie weiter unten allgemein für jede Potenzreihe beweisen.

==== Anwendung des Quotientenkriteriums ====

Hier erhalten wir 

{{Formel|<math>\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| & = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}\cdot x^{k+1}}{\frac{2^k}{k} \cdot x^k} \right| \\[0.3em]
& = \lim_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}} \cdot \left| \frac{x^{k+1}}{x^k} \right| \\[0.3em]
& = \lim_{k\to \infty} \frac{2^{k+1}\cdot k}{2^k \cdot k+1} \cdot  \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
& = \lim_{k\to \infty} 2 \cdot \frac{k}{k+1} \cdot |x| \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \frac{k}{k+1} = \frac 1{1+\frac 1k} \to \frac{1}{1+0} = 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
& = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
& \begin{cases}
< 1 & \text{ falls } |x|<\frac 12 \\
> 1 & \text{ falls } |x|>\frac 12
\end{cases}
\end{align}</math>}}

Also folgt ebenso, dass die Reihe für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<\frac 12</math> absolut konvergiert und für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|>\frac 12</math> divergiert. Damit folgt der Konvergenzradius 

{{Formel|<math>R=\frac 12 = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|}</math>}}

Diese Formel heißt die <dfn>Formel von Euler</dfn>. Wir werden diese nun ebenso allgemein beweisen.

=== Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler ===

Nun zeigen wir allgemein

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler
 |satz=
Sei <math>\sum_{k=0}^\infty c_k x^k</math> eine Potenzreihe und <math>R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\}</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe. Dann gilt

# <math>R=\frac 1L</math> mit <math>L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}</math>   <dfn>(Formel von Cauchy-Hadamard)</dfn>
# <math>R=\frac 1q</math> mit <math>q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|</math>, falls der Grenzwert  existiert     <dfn>(Formel von Euler)</dfn>

Dabei gilt hier <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math>.

 |beweis= 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=<math>R=\frac 1L</math> mit <math>L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}</math>
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=<math>0<L<\infty</math>
 |beweis1=
{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} & = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
& = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=L} \cdot |x| \\[0.3em]
& \begin{cases}
< 1 & \text{ falls } |x|<\frac 1L \\
> 1 & \text{ falls } |x|>\frac 1L
\end{cases}
\end{align}</math>}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<\frac 1L</math> und divergiert für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|>\frac 1L</math>. Also gilt für den Konvergenzradius <math>R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1L</math>.
 |fall2=<math>L=\infty</math>
 |beweis2=
Für <math>x \neq 0</math> gilt dann
{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} & = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
& = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
& = \infty
\end{align}</math>}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein <math>x \in \R</math> mit <math>x \neq 0</math>. Also gilt für den Konvergenzradius <math>R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0</math>.

 |fall3=<math>L=0</math>
 |beweis3=
{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} & = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
& = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
& = 0 < 1
\end{align}</math>}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle <math>x \in \R</math>. Also gilt für den Konvergenzradius <math>R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty</math>.
}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=<math>R=\frac 1q</math> mit <math>q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|</math>
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=<math>0<q<\infty</math>
 |beweis1=
{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| & = \limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
& = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=q} \cdot |x| \\[0.3em]
& \begin{cases}
< 1 & \text{ falls } |x|<\frac 1q \\
> 1 & \text{ falls } |x|>\frac 1q
\end{cases}
\end{align}</math>}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|<\frac 1q</math> und divergiert für alle <math>x \in \R</math> mit <math>|x|>\frac 1q</math>. Also gilt für den Konvergenzradius <math>R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1q</math>.
 |fall2=<math>q=\infty</math>
 |beweis2=
Für <math>x \neq 0</math> gilt dann
{{Formel|<math>\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| & = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
& = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
& = \infty
\end{align}</math>}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein <math>x \in \R</math> mit <math>x \neq 0</math>. Also gilt für den Konvergenzradius <math>R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0</math>.

 |fall3=<math>q=0</math>
 |beweis3=
{{Formel|<math>\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| & = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
& = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
& = 0 < 1
\end{align}</math>}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle <math>x \in \R</math>. Also gilt für den Konvergenzradius <math>R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty</math>.
}}
}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Bei den Vor- und Nachteilen der beiden Formeln, verhält es sich genauso als beim [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Vergleich zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium]]. Mit der Formel von Euler ist der Konvergenzradius im Allgemeinen leichter zu bestimmen, jedoch ist sie nicht immer anwendbar. Und zwar dann, wenn der Grenzwert <math>\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|</math> nicht existiert, oder wenn der Quotient nicht definiert ist.  Beispiele dafür sind die Sinus- und Kosinusreihe weiter unten. Ein Beispiel, bei dem die Formel von Euler deutlich einfacher anzuwenden ist, ist die Binomialreihe.}}

=== Beispiele ===

==== Die geometrische Reihe und Verwandtes ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der geometrischen Reihe
 |beispiel=Wie wir schon wissen hat die geometrische Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{1}_{=c_k}\cdot x^k</math> den Konvergentradius <math>R=1</math>. Wir überprüfen dies nochmal mit unseren beiden neuen Formeln:

Die <dfn>Formel von Cauchy-Hadamard</dfn> ergibt

{{Formel|<math>R = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{1}} = \frac 11 = 1</math>}}

Ebenso erhalten wir dies aus der <dfn>Euler-Formel</dfn>:

{{Formel|<math>R = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|} = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1}} = \frac 11 = 1</math>}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius von mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen
 |beispiel=Ebenso haben die Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac 1k \cdot x^k</math> und <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2} \cdot x^k</math> den Konvergentradius <math>R=1</math>. 
 
Die <dfn>Formel von Cauchy-Hadamard</dfn> ergibt für die erste Reihe mit <math>c_k=\frac 1k</math>:

{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} & = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1k} \\[0.3em]
& = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k}} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
& = \frac 11 \\[0.3em]
& = 1
\end{align}</math>}}

Also ist der Konvergenradius gleich <math>R=\frac 11 = 1</math>.

Mit der Formel von <dfn>Euler-Formel</dfn> ergibt sich ebenso für die zweite Reihe mit <math>c_k = \frac 1{k^2}</math>:

{{Formel|<math>\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| & = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{k+1}}{\frac 1k} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = 0 \right.} \\[0.3em]
& = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
& = 1
\end{align}</math>}}

Also ist der Konvergenradius gleich <math>R=\frac 11 = 1</math>. Natürlich hätten wir auch den Konvergenzradius der ersten Reihe mit der Formel von Euler und den der zweiten Reihe mit der Formel von Cauchy-Hadamard bestimmen können.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=
Gib zwei weitere Potenzreihen an, die den Konvergenzradius <math>R=1</math> haben.

 |antwort=
Es gibt natürlich unendlich viele Beipiele. Zwei weitere Potenzreihen mit Konvergenzradius <math>1</math> sind beispielsweise <math>\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^3}\cdot x^k</math> und <math>\sum\limits_{k=0}^\infty k\cdot x^k</math>.
}}

==== Die Binomialreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Binomialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, bei dem die Formel von Euler deutlich einfacher anzuwenden ist als die Formel von Cauchy-Hadamrd ist die Binomialreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \binom sk \cdot x^k</math> mit <math>s \in \R</math>. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssten wir <math>\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left| \binom sk \right|}</math> bestimmen, was nicht so ohne weiteres möglich ist. Die Formel von Euler hingegen ist wesentlich einfacher anzuwenden, denn es ergibt sich

{{Formel|<math>\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| & = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k+1} \right|}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \left| \binom s{k+1} \right| = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1) \cdot \overbrace{(s-(k+1)+1)}^{=(s-k)}|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1)|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k} \cdot \frac{|s-k|}{k+1} = \left| \binom sk \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1} \right.} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k} \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1}}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|s-k|}{k+1} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|\frac sk -1|}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = \lim_{k \to \infty} \frac sk = 0 \right.} \\[0.3em]
& = \frac{|0-1|}{1+0} \\[0.3em]
& = \frac 11 \\[0.3em]
& = 1
\end{align}</math>}}

Also hat die Binomialreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \binom sk x^k</math> für alle reellen <math>s</math> ebenfalls den Konvergenzradius <math>R=\frac 11 = 1</math>.
}}

==== Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Exponentialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, die für alle <math>x \in \R</math> konvergiert ist die Exponentialreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} \cdot x^k</math>. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssen wir hier <math>\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k!}}</math> bestimmen, was nicht so einfach ist, außer der Grenzwert <math>\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty</math> ist bekannt. Die Formel von Euler hingegen ist erneut ohne weiteres anwendbar und liefert

{{Formel|<math>\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| & = \lim_{k \to \infty} \frac{\left| \frac{1}{(k+1)!} \right|}{\left| \frac 1{k!} \right|} \\[0.3em]
& = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{(k+1)!} \\[0.3em]
& = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{k!\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k!\text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{k+1} \\[0.3em]
& = 0
\end{align}</math>}}

Also hat die Exponentialreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}</math> den Konvergenzradius <math>R=\infty</math>.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Sinusreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, dbei der die Formel von Euler nicht anwendbar ist, ist die Sinusreihe 
 
{{Formel|<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}=x-\frac 1{3!} \cdot x^3 + \frac 1{5!}\cdot x^5 - \frac 1{7!}\cdot x^7 \pm \ldots</math>}} 

Bei dieser Reihe sind alle geraden Koeffizienten gleich <math>0</math>. D.h. es gilt

{{Formel|<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
0 & \text{für} \ n=2k, \\
\frac {(-1)^{\frac{n-1}2}}{n!} & \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}</math>}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da man im Quotienten <math>\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|</math> durch null teilen würde, falls <math>n</math> gerade ist. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist anwendbar, falls der Grenzwert <math>\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty</math> bekannt ist. Denn es gilt

{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} & = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| c_{2k+1} \right|} \\[0.3em]
& = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!} \right|} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
& = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\frac {1}{(2k+1)!}} \\[0.3em]
& = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
& = 0
\end{align}</math>}}

Also hat die Sinusreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}</math> den Konvergenzradius <math>R=\infty</math>.

Ein eleganterer und kürzerer Beweis für den Konvergenzradius nutzt das [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der Exponentialreihe als Majorante. Es gilt nämlich mit der Definition der Koeffizienten <math>c_n</math> der Sinusreihe von oben:

{{Formel|<math>|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
0 & \text{für } \ n=2k, \\
\frac {1}{n!}|x|^n & \text{für } \ n=2k+1 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0</math>}}

Da die Exponentialreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k</math> für alle <math>x \in \R</math> absolut konvergiert, konvergiert mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] die Sinusreihe ebenfalls für jedes <math>x \in \R</math> absolut. Also ist der Konvergenzaradius der Sinusreihe ebenfalls gleich <math>R=\infty</math>.
}}

Sehr ähnlich kann man zeigen, dass die Kosinusreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}</math> ebenfalls den Konvergenzradius <math>R=\infty</math> hat.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius der Kosinusreihe
 |aufgabe=
Bestimme den Konvergenzradius der Kosinusreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}</math>.

 |beweis=Bei der Kosinusreihe
 
 {{Formel|<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}=1-\frac 1{2!} \cdot x^2 + \frac 1{4!}\cdot x^4 - \frac 1{6!}\cdot x^6 \pm \ldots</math>}} 

Bei dieser Reihe sind alle ungeraden Koeffizienten gleich <math>0</math>. D.h. es gilt

{{Formel|<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
\frac {(-1)^{\frac{n}2}}{n!} & \text{für} \ n=2k, \\
0 & \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}</math>}}

Die Formel von Euler ist, wie schon bei der Sinusreihe, auch hier nicht anwendbar, denn im Quotenten <math>\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|</math> ist der Nenner für ungerade <math>n</math> gleich null. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist erneut anwendbar. Es gilt

{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} & = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| c_{2k} \right|} \\[0.3em]
& = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k)!} \right|} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
& = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\frac {1}{(2k)!}} \\[0.3em]
& = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
& = 0
\end{align}</math>}}

Also hat die Kosinusreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}</math> ebenfalls den Konvergenzradius <math>R=\infty</math>.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Alternativer Beweis
 |titel=Konvergenzradius der Kosiunsreihe mit Majorantenkriterium
 |beweis=
Erneut können wir alternativ das Majorantenkriterium mit der Exponantialreihe als Majoranten anwenden. Es gilt

{{Formel|<math>|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
\frac {1}{n!}|x|^n & \text{für } \ n=2k, \\
0 & \text{für } \ n=2k+1
 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0</math>}}

Da die Exponentialreihe <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k</math> für alle <math>x \in \R</math> absolut konvergiert, konvergiert  mit dem Majorantenkriterium die Kosinusreihe ebenfalls für jedes <math>x \in \R</math> absolut. Der Konvergenzradius ist daher <math>R=\infty</math>.
}}

== Aufgaben zur Bestimmung des Konvergenzradius ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^s}</math> mit <math>s \in \Q</math>
# <math>\sum_{k=0}^\infty k^k x^k</math>
# <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{k^k} x^k</math>
# <math>\sum_{k=0}^\infty x^{k!}</math>
# <math>\sum_{k=0}^\infty (a^k+b^k)x^k</math> mit <math>a>0, \ b>0</math>

 |lösung=

{{Liste
 |item1='''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt mit <math>c_k=\frac 1{k^s}</math>:

{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} & = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
& = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^s}} \\[0.3em]
& = \frac 1{(\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k})^s} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
& = \frac 1{1^s} \\[0.3em]
& = 1
\end{align}</math>}}

Also ist der Konvergenradius gleich <math>R=\frac 11 = 1</math>.

Alternativ ist die Formel von <dfn>Euler-Formel</dfn> anwendbar und ergibt ebenso:

{{Formel|<math>\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| & = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{(k+1)^s}}{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^s}{(k+1)^s} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1{k^s} = 0 \right.} \\[0.3em]
& = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
& = 1
\end{align}</math>}}

Also ist auch hier <math>R=\frac 11 = 1</math>.
 |item2=
'''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' 

Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard sogar einfacher. Sie ergibt unmittelbar mit <math>c_k=k^k</math>:

{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} & = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^k} \\[0.3em]
& = \limsup\limits_{k \to \infty} k \\[0.3em]
& = \infty
\end{align}</math>}}

Also ist der Konvergenradius gleich <math>R=0</math>.

Die Formel von <dfn>Euler-Formel</dfn> ist ebenfalls anwendbar, wir benötigen jedoch den Grenzwert <math>\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e</math>. Damit ist

{{Formel|<math>\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| & = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k \cdot (k+1)}{k^k} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k}{k^k} \cdot (k+1) \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \left( 1+\frac{1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e , \ \lim_{k \to \infty} (k+1) = \infty\right.} \\[0.3em]
& = \infty
\end{align}</math>}}

Also ist auch hier <math>R=0</math>.
 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hier sehr schwierig anwendbar, denn wir müssten den Grenzwert <math>\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k!}{k^k}} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k!}}{k}</math> bestimmen, was nicht so ohne Weiteres möglich ist. 

Die Formel von <dfn>Euler-Formel</dfn> ist deutlich einfacher anwendbar. Erneut unter Zuhilfenahme des Grenzwerts <math>\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e</math> ergibt sich

{{Formel|<math>\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| & = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{k!}{k^k}} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)! \cdot k^k}{(k+1)^{k+1}\cdot k!} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k!\cdot (k+1) \cdot k^k}{k!\cdot (k+1)^k\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k! \text{ und } (k+1) \text{ kürzen}\right.} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^k}{(k+1)^k} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{erneut Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\frac{(k+1)^k}{k^k}} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( \frac{k+1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
& = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e\right.} \\[0.3em]
& = \frac 1e
\end{align}</math>}}

Also ist auch hier <math>R=\frac 1{\frac 1e} = e</math>.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''

Bei der Potenzreihe <math>\sum_{k=0}^\infty x^{k!} = \sum_{k=0}^\infty 1\cdot x^{k!} = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot x^n</math> gilt für die Koeffizienten

{{Formel|<math>c_n=\begin{cases}
1 & \text{für} \ n=k!, \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}</math>}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da für alle <math>n \ne k!</math> man im Quotienten <math>\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|</math> durch null teilen würde. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und es gilt

{{Formel|<math>\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} & = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| c_{k!} \right|} \\[0.3em]
& = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| 1 \right|} \\[0.3em]
&\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[m]{1}=1 \text{ für alle } m \in \N \right.} \\[0.3em]
& = \limsup_{k \to \infty} 1 \\[0.3em]
& = 1
\end{align}</math>}}

Also hat die Reihe den Konvergenzradius <math>R=\frac 11 = 1</math>.

Alternativ können wir hier auch direkt argumentieren, da die Bauart der Reihe sehr einfach ist:

# Ist <math>|x|<1</math>, so gilt <math>|x|^{k!}\le |x|^k</math>, und da die geometrische Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> für <math>|x|<1</math> absolut konvergiert, konvergiert die Reihe <math>\sum_{k=0}^\infty x^{k!}</math> mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] ebenfalls absolut.
# Ist <math>|x|>1</math>, so gilt <math>|x|^{k!} > 1</math>, also kann <math>(x^{k!})</math> keine Nullfolge sein. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe daher in diesem Fall.

Also folgt so ebenfalls <math>R=1</math>.

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:'''

Bei dieser Potenzreihe ist die Formel von Euler nicht geeignt, da mit <math>c_k = a^k + b^k</math> der Quotient <math>\left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|</math> schwer zu untersuchen ist. Bei der Formel von Cauchy-Hadamard erhalten wir die Folge <math>\sqrt[k]{c_k} = \sqrt[k]{a^k+b^k}</math>. Diese lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen:

# Ist <math>a<b</math>, so gilt: <math>b=\sqrt[k]{b^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{b^k+b^k} = \sqrt[k]{2b^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{b^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b</math>. Wegen <math>\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1</math> folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] <math>\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = b</math>.
# Ist <math>b<a</math>, so gilt analog: <math>a=\sqrt[k]{a^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{a^k+a^k} = \sqrt[k]{2a^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{a^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b</math>. Wegen <math>\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1</math> folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] <math>\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = a</math>.

Insgesamt ergibt sich <math>\limsup\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \max \{ a;b \}</math>. Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit 

{{Formel|<math> R = \frac{1}{\max \{ a;b \}} = \min \left\{ \frac 1{a};\frac 1{b} \right\}</math>}}

}}
}}

Ähnliche, ganz hervoragende, Aufgaben zum Potenzradius finden sich am Ende des Kapitels im [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Konvergenzradius bestimmen|Aufgabenteil]].

== Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius ==

Am Beipiel der drei Potenzreihen <math>\sum\limits_{k=0}^\infty x^k</math>, <math>\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1k x^k</math> und <math>\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2} x^k</math> kann man erkennen, dass das Verhalten auf dem Rand der Konvergenzradius (hier <math>|x|=1</math>) sehr unterschiedlich sein kann:

* Für die geometrische Reihe <math>\sum\limits_{k=0}^\infty x^k</math> gilt: Sowohl für <math>x=-1</math> also auch für <math>x=1</math> divergieren die Reihen <math>\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k</math> und <math>\sum\limits_{k=0}^\infty 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty 1</math> jeweils mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]], da die Folgen <math>((-1)^k)</math> und <math>(1)</math> keine Nullfolgen sind. 
* Für die Reihe <math>\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1kx^k</math> gilt: Für <math>x=-1</math> konvergiert die Reihe <math>\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac 1k</math> mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]], da die Folge <math>\left( \frac 1k\right)</math> eine monoton fallende Nullfolgen ist. Für <math>x=1</math> hingegen ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|harmonische Reihe]] <math>\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k</math>, welche bekanntlich divergiert.
* Für die Reihe <math>\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}x^k</math> gilt: Sowohl für <math>x=-1</math> als auch für <math>x=1</math> konvergiert die Reihe. Für <math>x=1</math> ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe#Die Reihe der reziproken Quadratzahlen|Reihe der reziproken Quadratzahlen]] <math>\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2}</math>, welche bekanntlich (absolut) konvergiert. Ebenso konvergiert für <math>x=-1</math> die Reihe <math>\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac 1{k^2}</math>, wegen <math>\left| (-1)^k \frac 1{k^2}\right|=\frac 1{k^2}</math> und da [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe#Jede absolut konvergente Reihe konvergiert|jede absolut konvergente Reihe konvergiert]].

Eine Reihe , die ebenfalls den Konvergenzradius <math>R=1</math> hat, deren Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzradius jedoch schwieriger zu bestimmen ist, ist die Binomialreihe <math>\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk x^k</math>. Für den Fall <math>s>0</math> kann man dazu das [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen#Aufgabe:Kriterium von Raabe|Konvergenzkriterium von Raabe]] verwenden. Ebenso kann man für verschiedene Werte von <math>s \in \R</math> die Konvergenz auch mit dem Majoranten- bzw. Leibniz-Kriterium bestimmen. Siehe hierzu die entsprechende [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Aufgabe:Binomialreihen|Übungsaufgabe im Aufgabenteil]].

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Hat eine Potenzreihe <math>\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k</math> den Konvergenzradius <math>R</math>, so kann keine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe für <math>|x|=R</math> gemacht werden.[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 2.pdf|center|600px|Veranschaulichung des Konvergenzradius mit Randwerten]] }}

Für Potenzreihen mit Konvergenzradius <math>R=1</math> wollen wir noch festhalten:

# Ist <math>x=1</math>, so ergibt sich die Reihe <math>\sum\limits_{k=0}^\infty c_k \cdot 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty c_k</math>. Diese Reihe kann dann mit den bekannten Konvergenzkriterien untersucht werden.
# Ist <math>x=-1</math>, so ergibt sich die Reihe <math>\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k c_k</math>. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] konvergiert die Reihe, falls <math>(c_k)</math> eine monoton fallende Nullfolge ist.
{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}