View source for Fakultät (Mathematik)

{| class="wikitable infobox float-right" style="margin: 0; text-align: right;"
|+ Einige explizite Fakultätswerte
|-
|  0! ||                         1
|-
|  1! ||                         1
|-
|  2! ||                         2
|-
|  3! ||                         6
|-
|  4! ||                        24
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|  5! ||                       120
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|  6! ||                       720
|-
|  7! ||                     5.040
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|  8! ||                    40.320
|-
|  9! ||                   362.880
|-
| 10! ||                 3.628.800
|-
| 11! ||                39.916.800
|-
| 12! ||               479.001.600
|-
| 13! ||             6.227.020.800
|-
| 14! ||            87.178.291.200
|-
| 15! ||         1.307.674.368.000
|-
| 16! ||        20.922.789.888.000
|-
| 17! ||       355.687.428.096.000
|-
| 18! ||     6.402.373.705.728.000
|-
| 19! ||   121.645.100.408.832.000
|-
| 20! || 2.432.902.008.176.640.000
|-
| 50! || 3,041… · 10<sup> 64</sup>
|-
|100! || 9,332… · 10<sup>157</sup>
|}

Die '''Fakultät''' (manchmal, besonders in Österreich, auch '''Faktorielle''' genannt) ist in der [[Mathematik]] diejenige [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die jeder [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] das [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] aller positiven natürlichen Zahlen zuordnet, die diese Zahl nicht übertreffen. Sie wird durch ein dem [[Funktionsargument]] nachgestelltes [[Ausrufezeichen]] („!“) abgekürzt. Ihre [[Notation]] mit dem Ausrufezeichen wurde erstmals 1808 von dem [[Elsass|elsässischen]] Mathematiker [[Christian Kramp]] (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung ''faculté''&nbsp;(französisch „Fähigkeit“) dafür einführte.<ref>{{Internetquelle |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/f/ |titel=Factorial |werk=MacTutor History of Mathematics archive |hrsg=Universität St. Andrews |sprache=en |abruf=2024-08-06}}</ref>

== Definition ==
Für alle natürlichen Zahlen <math>n</math> ist die ''Fakultät''
: <math>n! := \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dotsm n</math>
als das Produkt der natürlichen Zahlen von <math>1</math> bis <math>n</math> definiert.<ref>{{Literatur |Autor=Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=13}}</ref> Da das [[Leeres Produkt|leere Produkt]] stets gleich 1 ist, gilt
: <math>0! = 1</math>.

Die Fakultät lässt sich auch [[Rekursion|rekursiv]] definieren:<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=77}}</ref>
: <math>n! = \begin{cases} 1, &n=0, \\ n \cdot (n-1)!, &n>0. \end{cases}</math>
Die Werte der Fakultäten bilden die {{OEIS|A000142}}.[[Datei:Factorial from 0! to 4!.svg|mini|Diagramm von 0! bis 4!]]
==Beispiele==
Beispielhafte Berechnung der ersten fünf Fakultätswerte:
:<math>\begin{array}{rll}
0! &= 1 &= 1\\
1! &= 1 &= 1\\
2! &= 1 \cdot 2 &= 2\\
3! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 &= 6\\
4! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 &= 24\\
\end{array}</math>

== Anwendungen ==
=== Permutationen ===
In der [[Abzählende Kombinatorik|abzählenden Kombinatorik]] spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil <math>n!</math> die Anzahl der Möglichkeiten ist, <math>n</math> unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls <math>X</math> eine <math>n</math>-elementige Menge ist, so ist <math>n!</math> auch die Anzahl der [[Bijektive Funktion|bijektiven]] Abbildungen <math>X \to X</math>, also die Anzahl der [[Permutation]]en von <math>X</math>. Dies gilt insbesondere auch für den Fall <math>n=0</math>, da es genau eine Möglichkeit gibt, die [[leere Menge]] auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern <math>6!</math> verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher <math>6 \cdot 5 = 30</math> Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer <math>6 \cdot 5 \cdot 4 = 120</math> Belegungsmöglichkeiten ergeben usw. Letztlich gibt es also
: <math>6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720</math>

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

=== Binomialkoeffizienten ===
Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der [[Binomialkoeffizient]]
: <math>{n\choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer <math>n</math>-elementigen Menge eine <math>k</math>-elementige [[Teilmenge]] auszuwählen. 

Zum Beispiel gibt es beim Zahlenlotto [[6&nbsp;aus&nbsp;49]] insgesamt 13 983 816 mögliche Ziehungen:
: <math>{49\choose 6} = \frac{49!}{6!\,(49-6)!} = 13\,983\,816</math>

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Lottospiel ''6 aus 49'' zu gewinnen, nur 1/13983816 und somit weniger als ein Zehnmillionstel beträgt.

=== Höhere Ableitungen von Potenzfunktionen ===
Das Bilden von [[Höhere Ableitung|höheren Ableitungen]] einer Potenzfunktion <math>f(x)=x^n</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> führt auf Fakultäten: Wiederholtes Anwenden der [[Potenzregel]] liefert

:<math>\begin{align}
(x^n)'      &= n x^{n-1} \\
(x^n)''     &=n(n-1) x^{n-2} \\
            &\vdots \\
(x^n)^{(k)} &=n(n-1)\cdots (n-k+1)x^{n-k} \quad (k \leq n)
\end{align}
</math>
Durch Erweitern mit <math>(n-k)!</math> erhält man für die <math>k</math>-te Ableitung von <math>x^n \ (k \leq n)</math> die Formel 

:<math>(x^n)^{(k)}=\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} </math>,

die den Spezialfall <math>(x^n)^{(n)}= n!</math> enthält.

=== Taylorsche Reihen und Eulersche Zahl ===
Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die [[Taylorreihe]]n [[Glatte Funktion|glatter]] Funktionen wie der [[Sinus]]funktion und der [[Exponentialfunktion]].

Die Exponentialfunktion hat die einfachste aller Taylorreihen mit Fakultäten in Abhängigkeit vom Index im Nenner des Summanden:
: <math>\exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac {x^{k}}{k!} = \frac {1}{0!} + \frac {x}{1!} + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \dotsb</math>
Insbesondere ist die [[Eulersche Zahl]] <math>\mathrm{e}</math> die Summe der [[Kehrwert]]e der Fakultäten
: <math>\mathrm{e} = \exp(1) = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} + \frac 1{3!} + \frac 1{4!} + \dotsb \approx 2{,}71828182845904523536</math>
und ihr Kehrwert die alternierende Summe desselben Musters:
: <math>\frac{1}{\mathrm{e}} = \frac{1}{\exp(1)} = \exp(-1) = \sum_{k=0}^\infty \frac {(-1)^{k}}{k!} = \frac 1{0!} - \frac 1{1!} + \frac 1{2!} - \frac 1{3!} + \frac 1{4!} \pm \dotsb \approx 0{,}3678794411714423215955</math>

== Numerische Berechnung und Näherung ==
[[Datei:Mplwp factorial gamma stirling.svg|mini|Die Fakultät und die [[Stirlingformel]]]]

=== Rekursive und iterative Berechnung ===
Der numerische Wert für <math>n!</math> kann gut [[rekursiv]] oder [[Iteration|iterativ]] berechnet werden, falls <math>n</math> nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist <math>69! \approx 1{,}7\cdot 10^{98},</math> da <math>70! \approx 1{,}2 \cdot 10^{100}</math> außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als [[Gleitkommazahl]] im Format ''double precision'' des [[IEEE 754|IEEE-754-Standards]] darstellbare Fakultät ist <math>170! \approx 7{,}3 \cdot 10^{306}</math>.

=== Pythonprogramm ===
Mit Bibliotheken für sehr große Ganzzahlen (keine Limitierung auf 32, 64 oder z.&nbsp;B. 512 Bit) benötigt zum Beispiel ein [[Intel Pentium 4]] für die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der [[Dezimaldarstellung]], wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer ''Null'' bestehen.

<syntaxhighlight lang="python">
# Syntax: Python 3.7
n = int(input('Fakultät von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f *= i
print(f'{n}! = {f}')
</syntaxhighlight>

'''Rekursive Lösung'''
<syntaxhighlight lang="python">
def fak(n: int) -> int:
    return 1 if n <= 1 else n * fak(n - 1)
</syntaxhighlight>

=== Näherung mit der Stirling-Formel ===
Wenn <math>n</math> groß ist, bekommt man eine gute Näherung für <math>n!</math> mit Hilfe der [[Stirling-Formel]]:
: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \cdot \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^n</math>

Dabei bedeutet <math>\sim</math>, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für <math>n \to \infty</math> gegen <math>1</math> konvergiert.

Durch Approximation (statt Abschneiden) der Stirling-Reihe gelang [[Bill Gosper]] eine noch bessere Näherung:<ref>{{MathWorld|StirlingsApproximation|Stirling's Approximation}}</ref>
:: <math>n! \sim \sqrt{\left(2n+1/3\right) \pi} \cdot \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^n</math>

== Fakultät-ähnliche Funktionen ==
Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

=== Gammafunktion ===
[[Datei:Gamma-function.svg|mini|Die Gammafunktion]]
Die [[Gammafunktion]] <math>\Gamma(z)</math> verallgemeinert die Fakultät und ist eine [[Fortsetzung (Mathematik)#Stetige Fortsetzung|stetige Fortsetzung]] ihres Definitionsbereichs von den natürlichen hin zu den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]:<ref>[[Leonhard Euler]]: ''[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E019.html De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt.]'' (28.&nbsp;November 1729), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae&nbsp;5, 1738, [https://books.google.com/books?id=neoAAAAAYAAJ&pg=PA36 S.&nbsp;36–57] (lateinisch).</ref>

: <math>z! = \Gamma(z+1)</math> für <math>z\in\Complex</math> und <math>\Re{(z)} > 0</math>
: <math>\Gamma(z) = \int\limits_0^\infty t^{z-1}\mathrm e^{-t} \mathrm dt = \int_{0}^{1}{(-\log{t})^{z-1} \mathrm dt}</math>
: Für <math>z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z_{\leq0}}</math> kann die Gammafunktion folgendermaßen erweitert werden:<ref>{{Literatur |Autor=[[Eberhard Freitag|E. Freitag]], R. Busam |Titel=Funktionentheorie |Verlag=Springer-Verlag |ISBN=3-540-31764-3 |Seiten=225}}</ref>
: <math>\Gamma(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!(n+z)} + \int_1^\infty t^{z-1}e^{-t} \mathrm dt</math>

=== Faktorielle ===
Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die [[Fallende und steigende Faktorielle|steigenden und fallenden Faktoriellen]] <math>(n)_k</math> und <math>(n)^k</math> dar, denn <math>(n)_n = (1)^n = n!</math>.

=== Primorial (Primfakultät) ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:right"
|-
! n || n# || n ||  n#
|-
| 1 ||  1 || 5 ||  30
|-
| 2 ||  2 || 6 ||  30
|-
| 3 ||  6 || 7 || 210
|-
| 4 ||  6 || 8 || 210
|}

Die [[Primfakultät]] einer Zahl ist das Produkt der [[Primzahl]]en kleiner oder gleich der Zahl:
: <big><math>n_\# = \prod_{\scriptstyle p\,=\,2\atop\scriptstyle p\,\in\,\mathbb{P}}^{n}p\quad</math></big>

=== Subfakultät ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:right;"
! n || !n || n ||    !n
|-
| 1 ||  0 || 5 ||    44
|-
| 2 ||  1 || 6 ||   265
|-
| 3 ||  2 || 7 ||  1854
|-
| 4 ||  9 || 8 || 14833
|}

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende [[Subfakultät]]
: <math>!n = n! \cdot \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}</math>
bezeichnet die Anzahl aller [[Fixpunktfreie Permutation|fixpunktfreien Permutationen]] von <math>n</math> Elementen.

=== Doppelfakultät ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:right;"
! n || n<nowiki>!!</nowiki> || n || n<nowiki>!!</nowiki>
|-
| 1 ||   1 || 5 ||  15
|-
| 2 ||   2 || 6 ||  48
|-
| 3 ||   3 || 7 || 105
|-
| 4 ||   8 || 8 || 384
|}

==== Definition ====
Die seltener verwendete ''Doppelfakultät'' oder ''doppelte Fakultät'' ist für gerade <math>n</math> das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich <math>n</math>. Für ungerade <math>n</math> ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich <math>n</math>:<ref>{{MathWorld|id=DoubleFactorial|title=Double Factorial}}</ref>
: <math>n!! = \begin{cases}
n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \dotsm 2 & \text{für } n \text{ gerade und } n > 0, \\
n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \dotsm 1 & \text{für } n \text{ ungerade und } n > 0, \\
1 & \text{für } n \in \{-1, 0\}
\end{cases}</math>

Oft werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt:
: <math>(2k)!! = 2^k k!</math>
: <math>(2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k k!}</math>

Werden nicht-ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, sodass <math>n!! = n \cdot (n-2)!!</math> für alle ungeraden ganzen Zahlen <math>n</math> gilt. Man erhält die Formel <math>n!! = \tfrac{1}{n+2} \cdot \tfrac{1}{n+4} \dotsm \tfrac{1}{1}</math> für ungerade <math>n < 0</math>.

Die Werte der Doppelfakultäten bilden die {{OEIS|A006882}}.

==== Beispiele ====
* <math>6!! = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48</math>
* <math>7!! = 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 105</math>

==== Anwendungsbeispiele ====
* Die Anzahl <math>P_{2n}</math> der <math>n</math>-stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus <math>2n</math> Elementen wird gegeben durch die Rekursion <math>P_{2n} = (2n-1)P_{2n-2}</math> mit Rekursionsanfang <math>P_2 = 1</math> (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt <math>P_{2n} = (2n-1)!!</math>. Sollen z.&nbsp;B. <math>2n</math> Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch <math>\frac {P_{2n-2}} {P_{2n}} = \frac 1 {2n-1}</math>.
* Die Anzahl der Elemente der [[Hyperoktaedergruppe]] <math>B_n</math> ist <math>(2n-1)!!</math>.
* Die Anzahl der [[Fixpunkt (Mathematik)|fixpunktfreien]] [[Involutorische Permutation|involutorischen Permutationen]] von <math>2n</math> Elementen ist <math>(2n)!!</math>.
* Das <math>2n</math>-te [[Moment (Stochastik)|Moment]] der [[Standardnormalverteilung]] ist <math>(2n-1)!!</math>.
* Für natürliche <math>n</math> gilt <math>(2n-1)!! = \frac{2^n}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)</math>.

=== Multifakultät ===
Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache (<math>n!!!</math>), vierfache (<math>n!!!!</math>), …, <math>k</math>-fache Fakultät (<math>n!^{(k)}</math>) rekursiv definiert:<ref>{{MathWorld|id=Multifactorial|title=Multifactorial}}</ref>

: <math>n!^{(k)} := \begin{cases}
1 & \text{falls } n = 0 \\
n & \text{falls } 0 < n\leq k \\
n(n-k)!^{(k)} & \text{falls } n>k
\end{cases}</math>

=== Weitere verwandte Funktionen ===
* [[Smarandache-Funktion]]
* [[Superfakultät]]
* [[Hyperfakultät]]

== Primzahlexponenten ==
Falls nicht die vollständige Zahl <math>n!</math> gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.
:<math>v_p(n!) =\begin{cases}
  0 & \text{falls } n<p \\
  \lfloor n/p \rfloor + v_p(\lfloor n/p \rfloor !) & \text{sonst}
\end{cases}</math>
Hier steht <math>v_p(k)</math> für den Exponenten von <math>p</math> in der [[Primfaktorzerlegung]] von <math>k</math>.

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von ''10.000!'' der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.
:<math>\begin{align}
v_5(10{.}000!)
&= 2000 + v_5(2000!)\\
&= 2000 + 400 + v_5(400!)\\
&= 2000 + 400 + 80 + v_5(80!)\\
&= 2000 + 400 + 80 + 16 + v_5(16!)\\
&= 2000 + 400 + 80 + 16 + 3 + v_5(3!)\\
&= 2000 + 400 + 80 + 16 + 3 + 0\\
&= 2499
\end{align}</math>

== Literatur ==
* Jacques Dutka: ''The Early History of the Factorial Function.'' Archive for History of Exact Sciences 43(3), 1991, S. 225–249.
* Leonhard Euler: ''Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques.'' (1749), in ''Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres'' 17 (1761), 1768, S. 96/97 (französisch).
* Leonhard Euler: ''Evolutio formulae integralis <math>\displaystyle \textstyle \int \!x^{f-1}\mathrm {d} x(lx)^{\frac {m}{n}}</math> integratione a valore x=0 ad x=1 extensa.'' 4. Juli 1771, in ''Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae'' 16, 1772, S. 121 (lateinisch).
* Adrien-Marie Legendre: ''Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies.'' (13. November 1809), in ''Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France'' 10, 1809, S. 485 (französisch).
* [[Hermann Kinkelin]]: ''Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung.'' (Juli 1856), in: ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'' 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: [http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002150824 digizeitschriften.de]).
* [[James Whitbread Lee Glaisher|J. W. L. Glaisher]]: ''On the Product 1¹.2².3³...nⁿ.'' In: ''The Messenger of Mathematics'' 7, 1878, S. 43–47 (englisch); {{archive.org |messengermathem01glaigoog |Blatt=n57}}.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät}}
* Peter Luschny: [http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm ''The Homepage of Factorial Algorithms.''] Effiziente Algorithmen und weitere Informationen (englisch).
* {{MathWorld|id=Factorial|title=Factorial}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4153607-1}}

{{SORTIERUNG:Fakultat #Mathematik}}
[[Kategorie:Kombinatorik]]